Материал: Электромагнитные колебания и волны. методические указания по физике для студентов. Евсюков В.А., Агапитова Н.В

Как известно, напряженность магнитного поля в вакууме движущегося заряда q со скоростью (при <<c) равна

= . (2.46)

Здесь , , - орты сферической системы координат; - радиус-вектор заданной точки наблюдения , исходящий от заряда (рис.2.6).В рассматриваемом случае заряд двигался с ускорением и, следовательно, излучая волну.

Представим скорость заряда в виде = t= t и подставим в формулу (2.46). При этом необходимо иметь в виду, что элек

Рис.2.6

тромагнитное возмущение из-за конечности его распространения достигнет поверхности сферы радиуса R позже, в момент t+ по отношению к состоянию движения заряда в момент t. В результате вместо (2.46) будем иметь

(t+ )= = = = (2.47)

где .

Обобщим формулу (2.47) на произвольное расстояние r и напишем:

= . (2.48)

Аргумент t+ в (2.48) заменим на t- , что не меняет последовательности событий. Тогда окончательное выражение для поля для движущегося с ускорением заряда получает вид

. (2.49)

Из (2.49) видно, что напряженность магнитного поля не зависит от азимутального угла и направлена по касательной к параллели, проходящей через точку М (см. рис.2.6)

Согласно соотношению Е=cB=c H, алгебраическое значение электрической напряженности равно

E= = = (2.50)

Излучение имеет радиальное направление (волновой вектор и орт имеют одно направление). Учитывая правую взаимно перпендикулярную направленность векторов , и , напишем:

= (2.51)

Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга) = .

Интенсивность излучения

=EH = c = = = = . (2.52)

Среднее значение интенсивности

(2.53)

поскольку

Можно представить, что наряду с осциллипирующим зарядом q в начале координат находится покоящийся заряд –q, образующий вместе с зарядом q электрический диполь c колеблющимся дипольным моментом p(t)= =q .Добавление неподвижного заряда –q приведет к

Рис.2.7

появлению статического радиального поля, которое будет убывать с расстоянием r быстрее, чем . В волновой зоне (при r>> ) составляющая электрического поля значительно превосходит радиальное . Поэтому формулы (2.50)-(2.53) в равной мере применимы и к полю излучения диполя с дипольным моментом p=qz(t). При этом безразлично, чем обусловлены осцилляции дипольного момента: изменением расстояния z(t)= между зарядами q и –q при неизменной их величине или изменением зарядов по закону q(t)= при неизменном расстояния между ними. Последний случай соответствует простым антеннам, применяемым в радиотехнике. Первый случай - колебания расстояния между зарядами – важен как классическая модель электромагнитного излучателя света (атома) в оптике.

Зависимость от направления выражается в (2.53) множителем . Максимальная интенсивность наблюдается при = , т.е. в экваториальной плоскости: максимум интенсивности соответствует направлению, перпендикулярному оси диполя. Вдоль оси диполя энергия не излучается. Поле излучения дипольного осциллятора, хотя и представляет собой сферическую волну, сферической симметрией не обладает. Угловое распределение излучаемой диполем энергии показано на рис. 2.7. Длина отрезка, проведенного из начала координат до пересечения с линией r= , пропорциональна интенсивности распространяющейся в данном направлении волны. Кривую зависимость r= называют диаграммой направленности излучаемого диполя. Распределение интенсивности по направлениям в пространстве характеризуется вращением кривой вокруг оси z.

Поток энергии за одну секунду через площадку dF= сферической поверхности произвольного радиуса R равен dФ=<I>dF, поэтому полная излучаемая мощность

P= dcos =

= . (2.54)

Из полученного результата (2.54) видно, что излучаемая осциллятором мощность пропорциональна квадрату амплитуды его дипольного момента и четвертой степени частоты. Этот закон играет большую роль в рассеянии света.

Осциллятор совершает незатухающие колебания лишь в том случае, когда эти колебания поддерживаются каким-либо внешним источником. Без такого источника колебания будут затухать даже при движении в пустом пространстве, так как осциллятор теряет энергию на излучение (радиационное затухание).

3. Примеры решения задач

3.1. Задачи по теме «Электромагнитные колебания»

Задача 3.1.1. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью C=8 и катушку индуктивностью =0,5мГн. Каково максимальное напряжение на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока =40 мA?

Решение: Запишем закон изменения заряда на конденсаторе контура и тока в катушке индуктивности:

q= (1)

(2)

При этом напряжение на обкладках конденсатора

U= (3)

Из выражения (2) видно, что амплитуда тока

, (4)

где (формула Томсона). (5)

Амплитуда колебания напряжения на конденсаторе, как это следует из (3), равна

= (6)

Максимальное значение заряда на конденсаторе, согласно (4), равно

Если учесть выражение (5), найдем

(7)

Далее подставляя (7) в (6), будем иметь

. (8)