Материал: Годфруа Ж. Что такое психология в 2х т. Оглавление предисловие редактора перевода

Такая группировка состоит в основном в том, что объединяют данные с одинаковыми или близкими значениями в классы и определяют частоту для каждого класса. Способ разбиения на классы зависит от того, что именно экспериментатор хочет выявить при разделении измерительной шкалы на равные интервалы. Например, в нашем случае можно сгруппировать данные по классам с интервалами в две или три единицы шкалы:

 





Выбор того или иного типа группировки зависит от различных соображений. Так, в нашем случае группировка с интервалами между классами в две единицы хорошо выявляет распределение результатов вокруг центрального «пика». В то же время группировка с интервалами в три единицы обладает тем преимуществом, что дает более обобщенную и упрощенную картину распределения, особенно если учесть, что число элементов в каждом классе невелико*. Именно поэтому в дальнейшем мы будем оперировать классами в три единицы.


* При большом количестве данных число классов по возможности должно быть где-то в пределах от 10 до 20, с интервалами до 10 и более.



Данные, разбитые на классы по непрерывной шкале, нельзя представить графически так, как это сделано выше. Поэтому предпочитают использовать так называемые гистограммы - способ графического представления в виде примыкающих друг к другу прямоугольников:



Наконец, для еще более наглядного представления общей конфигурации распределения можно строитьполигоны распределения частот.Для этого отрезками прямых соединяют центры верхних сторон всех прямоугольников гистограммы, а затем с обеих сторон «замыкают» площадь под кривой, доводя концы полигонов до горизонтальной оси (частота = 0) в точках, соответствующих самым крайним значениям распределения. При этом получают следующую картину:



Если сравнить полигоны, например, для фоновых (исходных) значений контрольной группы и значений после воздействия для опытной группы, то можно будет увидеть, что в первом случае полигон почти 

симметричен(т.е. если сложить полигон вдвое по вертикали, проходящей через его середину, то обе половины належатся друг на друга), тогда как для экспериментальной группы он асимметричен и смещен влево (так что справа у него как бы вытянутый шлейф). 
Полигон для фоновых данных контрольной группы сравнительно близок к идеальной кривой, которая могла бы получиться для бесконечно большой популяции. Такая кривая - кривая нормального распределения - имеетколоколообразную форму и строго симметрична. Если же количество данных ограничено (как в выборках, используемых для научных исследований), то в лучшем случае получают лишь некоторое приближение (аппроксимацию) к кривой нормального распределения. Если вы построите полигон для фоновых значений опытной группы и значений после воздействия для контрольной группы, то вы наверняка заметите, что так же будет обстоять дело и в этих случаях.

Оценка центральной тенденции

Если распределения для контрольной группы и для фоновых значений в опытной группе более или менее симметричны, то значения, получаемые в опытной группе после воздействия, группируются, как уже говорилось, больше в левой части кривой. Это говорит о том, что после употребления марихуаны выявляется тенденция к ухудшению показателей у большого числа испытуемых. 
Для того чтобы выразить подобные тенденции количественно, используют три вида показателей моду, медиануи среднюю. 
1.Мода(Mo)-это самый простой из всех трех показателей. Она соответствует либо наиболее частому значению, либо среднему значению класса с наибольшей частотой. Так, в нашем примере для экспериментальной группы мода для фона будет равна 15 (этот результат встречается четыре раза и находится в середине класса 14-15-16), а после воздействия - 9 (середина класса 8-9-10). 
Мода используется редко и главным образом для того, чтобы дать общее представление о распределении. В некоторых случаях у распределения могут быть две моды; тогда говорят о бимодальномраспределении. Такая картина указывает на то, что в данном совокупности имеются две относительно самостоятельные группы (см., например, данные Триона, приведенные в документе 3.5).



2.Медиана(Me) соответствует центральному значению в последовательном ряду всех полученных значений. Так, для фона в экспериментальной группе, где мы имеем ряд

10 11 12 13 14 14 15 15 15 15 17 17 19 20 21,

медиана соответствует 8-му значению, т.е. 15. Для результатов воздействия в экспериментальной группе она равна 10. 
В случае если число данных п,четное, медиана равна средней арифметической между значениями, находящимися в ряду на n/2-м и n/2 + 1-м местах. Так, для результатов воздействия для восьми юношей опытной группы медиана располагается между значениями, находящимися на 4-м (8/2 = 4) и 5-м местах в ряду. Если выписать весь ряд для этих данных, а именно

7 8 9 11 12 13 14 16,

то окажется, что медиана соответствует (11 +12)/2 =11,5 (видно, что медиана не соответствует здесь ни одному из полученных значений). 
3. Средняя арифметическая(М) (далее просто «средняя») - это наиболее часто используемый показатель центральной тенденции. Ее применяют, в частности, в расчетах, необходимых для описания распределения и для его дальнейшего анализа. Ее вычисляют, разделив сумму всех значений данных на число этих данных. Так, для нашей опытной группы она составит 15,2(228/15) для фона и 11,3(169/15) для результатов воздействия. 
Если теперь отметить все эти три параметра на каждой из кривых для экспериментальной группы, то будет видно, что при нормальном распределении они более или менее совпадают, а при асимметричном распределении - нет. 
Прежде чем идти дальше, полезно будет вычислить все эти показатели для обеих распределений контрольной группы - они пригодятся нам в дальнейшем:


Фон

Mo =15 Me =15 =15.2



После воздействия 
Мо = 9 Ме = 10 =11,3

Оценка разброса

Как мы уже отмечали, характер распределения результатов после воздействия изучаемого фактора в опытной группе дает существенную информацию о том, как испытуемые выполняли задание. Сказанное относится и к обоим распределениям в контрольной группе:

Контрольная группа        Мода(Mo)     Медиана(Me)            Средняя (М) 
Фон:                                  …………..       ………………. ……………... 
После воздействия:         …………..       ………………  ………………

Сразу бросается в глаза, что если средняя в обоих случаях почти одинакова, то во втором распределении результаты больше разбросаны, чем в первом. В таких случаях говорят, что у второго распределения больше диапазон, или размах вариаций, т. е. разница между максимальным и минимальным значениями. 
Так, если взять контрольную группу, то диапазон распределения для фона составит 22 — 10 = 12, а после воздействия 25 — 8 = 17. Это позволяет предположить, что повторное выполнение задачи на глазодвигательную координацию оказало на испытуемых из контрольной группы определенное влияние: у одних показатели улучшились, у других ухудшились*. Однако для количественной оценки разброса результатов относительно средней в том или ином распределении существуют более точные методы, чем измерение диапазона.


* Здесь мог проявиться эффект плацебо,связанный с тем, что запах дыма травы вызвал у испытуемых уверенность в том, что они находятся под воздействием наркотика. Для проверки этого предположения следовало бы повторить эксперимент со второй контрольной группой, в которой испытуемым будут давать только обычную сигарету.

Чаше всего для оценки разброса определяют отклонение каждого из полученных значений от средней (М-), обозначаемое буквой d,a затем вычисляют среднюю арифметическую всех этих отклонений. Чем она больше, тем больше разброс данных и тем более разнородна выборка. Напротив, если эта средняя невелика, то данные больше сконцентрированы относительно их среднего значения и выборка более однородна. 
Итак, первый показатель, используемый для оценки разброса, - это среднее отклонение. Его вычисляют следующим образом (пример, который мы здесь приведем, не имеет ничего общего с нашим гипотетическим экспериментом). Собрав все данные и расположив их в ряд

3  5  6  9  11 14,

находят среднюю арифметическую для выборки:


Затем вычисляют отклонения каждого значения от средней и суммируют их:

-5             -3          - 2           +1          +3           +6 
(3 - 8) + (5 - 8) + (6 - 8) + (9 - 8) + (11 - 8) + (14 - 8).

Однако при таком сложении отрицательные и положительные отклонения будут уничтожать друг друга, иногда даже полностью, так что результат (как в данном примере) может оказаться равным нулю. Из этого ясно, что нужно находить сумму абсолютныхзначений индивидуальных отклонений и уже эту сумму делить на их общее число. При этом получится следующий результат:

среднее отклонение равно


Общая формула:



где a (сигма) означает сумму; |d|-абсолютное значение каждого индивидуального отклонения от средней; n-число данных. 
Однако абсолютными значениями довольно трудно оперировать в алгебраических формулах, используемых в более сложном статистическом анализе. Поэтому статистики решили пойти по «обходному пути», позволяющему отказаться от значений с отрицательным знаком, а именно возводить все значения в квадрат,а затем делить сумму квадратов на число данных. В нашем примере это выглядит следующим образом:



В результате такого расчета получают так называемую вариансу*.Формула для вычисления вариансы, таким образом, следующая:



* Варианса представляет собой один из показателей разброса, используемых в некоторых статистических методиках (например, при вычислении критерия F; см. следующий раздел). Следует отметить, что в отечественной литературе вариансу часто называют дисперсией. - Прим. перев.

 

Наконец, чтобы получить показатель, сопоставимый по величине со средним отклонением, статистики решили извлекать из вариансы квадратный корень. При этом получается так называемое стандартное отклонение:



В нашем примере стандартное отклонение равно  = 3,74. 
Следует еще добавить, что для того, чтобы более точно оценить стандартное отклонение для малых выборок (с числом элементов менее 30) в знаменателе выражения под корнем надо использовать не п, 
а  п —1;




* Стандартное отклонение для популяции обозначается маленькой греческой буквой сигма (s), а для выборки - буквой s.Это касается и вариансы, т.е. квадрата стандартного отклонения: для популяции она обозначается s2 , a для выборки -s2.

Вернемся теперь к нашему эксперименту и посмотрим, насколько полезен оказывается этот показатель для описания выборок.