Реферат: Группы, кольца, поля

Группы, кольца, поля

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ ВЛАДИМИРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБОУ СПО ВО "Владимирский политехнический колледж"

РЕФЕРАТ

по дисциплине "Элементы математической логики"

по теме "Группы, кольца, поля"

Выполнил

студент группы ПКС-212

Ещеркин Кирилл

Проверил

преподаватель

Михайлова Е.В.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

. Немного истории

. Группы

. Кольца

. Поле

. Конечное поле

Заключение

Аннотированный список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Высшая алгебра изучает множества и определенные на них операции. Она занимает центральное место в современной математике. Велика также роль алгебры в приложениях. Этот реферат посвящен краткому введению в теорию основных алгебраических систем: групп, колец, полей. Следует также обратить внимание на построение конечных полей. Эти удивительные объекты, возникающие из чисто алгебраического рассмотрения, играют большую роль в современной комбинаторике и информатике. Наиболее важным, примером использования конечных полей для решения комбинаторной задачи прикладного характера, является теории кодов, исправляющих ошибки. Появились эти коды в середине прошлого века, когда для передачи секретных сообщений (скажем, приказов в войска) стала активно использоваться радиосвязь. Сообщения нужно было шифровать, а из-за помех при передаче возможны ошибки, которые могут сделать расшифровку невозможной или бессмысленной (или того хуже: осмысленной, но ошибочной). Чтобы повысить надежность сообщения, можно передать каждый символ несколько раз. Скажем, если при передаче азбукой Морзе передавать каждую точку трижды и каждое тире трижды, то одна ошибка в передаче символа не мешает восстановлению исходного сообщения. Но при таком способе кодирования передаваемых символов длина сообщения (и время передачи) увеличивается в три раза. Естественно возникает вопрос: как кодировать сообщение, чтобы сохранилась устойчивость к ошибкам и не сильно возрастала длина сообщения. Это и есть задача о построении кодов, исправляющих ошибки. Сравнительно легко можно показать, что существуют хорошие коды, в которых нужно использовать немного дополнительных символов. Но для практических нужд одной теоремы существования мало: нужны явные конструкции кодов. Кроме того, естественным практическим требованием является простота декодирования передаваемых сообщений. Удивительно, но вся теория построения хороших кодов оказывается тесно связанной с алгеброй. Изучив лишь самые основы этой науки, мы сможем построить только простейшие коды такого типа. Они, впрочем, оказываются весьма важными с практической точки зрения благодаря эффективным алгоритмам декодирования. Этот пример использования алгебры является весьма показательным. Очень часто в комбинаторике встречается именно такая ситуация: можно сравнительно легко доказать, что объ екты с некоторыми свойствами существуют (иногда даже, что почти все объекты удовлетворяют нужному свойству), но явно предъявить хотя бы один такой объект намного сложнее. И в очень многих случаях явные конструкции возникают из алгебры.

1. НЕМНОГО ИСТОРИИ

Алгебра прошла несколько этапов в своем развитии. Сейчас решению линейных и квадратных уравнений обучают в средней школе, поэтому кажется, что решать их совсем просто. Но пока не появились буквенные обозначения, знаменитые a, b и c все квадратные уравнения записывались словами. Представим, что квадратное уравнение записано так: возьми известное количество, два раза умноженное на неизвестное количество, добавляем к этому второе известное количество, умноженное на неизвестное количество, добавляем к этому третье известное количество, в сумме получаем ничего. Вот такая задачка, и необходимо найти это неизвестное количество. Древние египтяне с этой задачей справились именно в такой формулировке. Правда, учили этому много лет, но когда человек обучался, он находил ответ точно в таком же виде, как формулируется задача. Потом на протяжении очень долгого времени делались попытки решить уравнения третьей и четвертой степени. В конце концов решения были получены, и люди научились решать и эти уравнения. Далее возникла задача решения уравнения 5-й степени. И вот здесь начались сложности. Долгие безуспешные попытки найти формулу для решения уравнения 5-й степени закончились тем, что Абель доказал невозможность решения этой задачи в радикалах. Потом появляется Галуа. Он погиб в возрасте 20 лет, но зато оставил после себя работу, которая предопределила развитие алгебры на много лет вперед. Созданные Галуа теории продолжают использоваться в современной математике. Галуа предложил рассуждение, которое до сих пор является одним из основных средств рассуждений в алгебре. Представим, что надо решить некоторую задачу. Задача сложная и решается с трудом. Можно идти двумя путями: можно сесть и решать, а можно пойти по другому пути. Например, пока не придумали мнимые числа, некоторые квадратные уравнения было нельзя решить, а вот когда ввели эту мнимую единичку, все сразу стало просто. Значит, второй способ состоит в том, чтобы расширить множество (чисел) так, чтобы у задачи появилось решение. Галуа предложил очень общий метод решения уравнений. Если они не решаются, надо расширить множество возможных решений, точно также, как и в случае уравнения второй степени. И он предложил такие расширения, которые позволяют решать уравнения любой степени. Это так называемые расширения Галуа. Эта идея до настоящего времени является одной из основных в современной математике.

. ГРУППЫ

Группа G = (M,*) это такая пара из множества M и бинарной операции * на этом множестве, что выполняются следующие свойства (аксиомы группы):

:(x*y)*z=x*(y*z) (ассоциативность);

: (аксиома единицы) существует единственный единичный элемент e такой, что для любого x выполняется e*x=x*e=x;: для любого элемента x существует ровно один обратный элемент, т.е. такой элемент y, для которого y*x=x*y=e (обратный элемент обозначается ).

Группы с добавленным свойством коммутативности операции a*b=b*a называются коммутативными или абелевыми (по имени норвежского математика Абеля, который их изучал). При использовании мультипликативной записи x*y или xy единичный элемент группы традиционно называется единицей и обозначается e или 1. При аддитивной записи единичный элемент называется нулем и обозначается 0. Вместо термина обратный при аддитивной записи используется термин противоположный. Противоположный к элементу y обозначается −y. Аддитивная запись обычно (но далеко не всегда) используется для обозначения коммутативных операций. Группа называется конечной, если в ней (а точнее во множестве M) конечное число элементов, которое называется порядком группы.

. КОЛЬЦА

галуа кольцо группа поле

В теории множеств кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов A, B из кольца элементы  и  тоже будут лежать в кольце. С точки зрения алгебраической структуры кольцо множеств представляет собой ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой.

Свойства кольца:: Пустое множество принадлежит любому кольцу .: Объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу.: Разность элементов кольца также принадлежит кольцу,: Прямое произведение колец является полукольцом, и не обязано быть кольцом.

Если в кольце имеется единичный элемент для умножения, то кольцо называется кольцом с единицей. Если умножение коммутативно, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

. ПОЛЕ

Поле - множество, для элементов которого определены операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль), причём свойства этих операций близки к свойствам обычных числовых операций. Простейшим полем является поле рациональных чисел (дробей). Хотя названия операций поля взяты из арифметики, следует иметь в виду, что элементы поля не обязательно являются числами, и определения операций могут быть далеки от арифметических. Для полей характерны следующие свойства: Характеристика поля всегда  или простое число.: Количество элементов в конечном поле всегда равно  - степени простого числа.: В поле нет делителей нуля.

. КОНЕЧНОЕ ПОЛЕ

Конечное поле или поле Галуа - поле, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается  или (сокращение от Galois field), где  - число элементов поля (мощность). С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его мощностью, которая всегда является степенью какого-либо простого числа (, где  - простое число, являющееся характеристикой поля).

Понятие конечного поля используется, в частности, в теории чисел, алгебраической геометрии, теории Галуа, криптографии, в разработке секретных ключей различных шифров (например, AES).

Простейшим примером конечного поля является  - кольцо вычетов по модулю простого числа .

Свойства конечного поля:

R1: Характеристика конечного поля является простым числом, и число элементов конечного поля есть его характеристика в натуральной степени:

2: Конечное поле не может быть упорядоченным, так как упорядоченное поле содержит бесконечно много элементов.

R3: Мультипликативная группа  конечного поля  является циклической группой порядка .

R4: Поле  содержит в себе в качестве подполя  тогда и только тогда, когда  является делителем .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В реферате рассмотрены: история возникновения, а также определения и свойства групп, колец и полей. Математические методы, используемые в криптографии, невозможно успешно освоить без знания этих алгебраических структур. Поэтому знания и умения работать с этими объектами применяются не только в дискретной математике, но и являются необходимым условием для подготовки специалистов в области защиты информации.

АННОТИРОВАННЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.       Александров П.С., Маркушевич А.И., Хинчин А.Я. Энциклопедия элементарной математики, Книга 1, Арифметика 1961. 448 с.

Книга первая. Арифметика. Происхождение систем счисления. Понятия множества, группы, кольца и поля; теоретические основы арифметики. Элементы теории чисел. Устный и письменный счёт; вспомогательные средства вычислений.

2.       Аскольд Хованский. Топологическая теория Галуа. Разрешимость и неразрешимость уравнений в конечном виде. -- М.: Изд-во МЦНМО, 2008. - 296 с.

Книга посвящена вопросу о неразрешимости уравнений в явном виде. В ней дается полное изложение топологического варианта теории Галуа, полученного автором.

3.       Атья М. Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. -М: Мир, 1972

Разобрав все доказательства и потренировавшись на многочисленных упражнениях, читатель овладеет основами коммутативной алгебры, равно необходимыми специалистам по топологии, теории чисел, функциональному анализу, алгебраической геометрии, теории функций комплексного переменного.

4.       Бельский А., Садовский Л. Кольца. Квант № 2, 1974.(статья в научно-популярном журнале)

Ради изучения свойств операций сложения и умножения как таковых, в их внутренней связи между собой, безотносительно к природе элементов, над которыми они производятся, и было введено в алгебре понятие кольца.(аннотация к статье)

5.       Беняш-Кривец В.В. Лекции по алгебре: группы, кольца, поля: учебное пособие для студентов математических специальностей / В.В. Беняш-Кривец,О.В. Мельников. Минск: БГУ, 2008. 116 с. В учебном пособии излагаются основы теории групп, колец и полей. Этот материал изучается в рамках курса "Алгебра и теория чисел на математических специальностях в вузах.

6.       Васильев А.В., Мазуров В.Д. Высшая алгебра: В 2 ч.: Конспект лекций / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010, ч. 1. 143 c.

В курсе на основе понятия алгебраической системы определяются основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля, векторные пространства, алгебры. В дальнейшем рассматриваются примеры этих структур.

7.       Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: издательство "Факториал Пресс", 2002

В книгу включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (В связи с аффинной алгебраической геометрией). Теории Галуа. Теории конечномерных ассоциативных алгебр и теории групп Ли.

8.       Воскресенский. Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп.

МЦНМО. 2009. 408 с.

В книге рассмотрены такие вопросы, как формы и когомологии Галуа, группы Пикара и Брауэра многообразий, бирациональные инварианты линейных алгебраических групп, числа Тамагавы, проективные торические многообразия, R-эквивалентность в линейных алгебраических группах, инварианты конечных групп преобразований.

9.       Глухов М.М. Елизаров В.П. Нечаев А.А. Алгебра.Том 2. 2003.-405 с.

Данный курс характеризуется углубленным изучением дискретных алгебраических объектов: конечных колец, полей, линейных пространств, полугрупп преобразований, групп подстановок.

10.     Земляков А. Н. Алгебра+: рациональные и иррациональные. алгебраические задачи. Элективный курс : учебное пособие. БИНОМ. Лаборатория знаний. 320 с.

В пособии, построенном как самоучитель, рассмотрены все типы задач по элементарной алгебре, входящие в школьную программу и программу вступительных экзаменов в вузы. Излагаются не рецепты, а методы решения алгебраических задач: уравнений, неравенств, систем, задач с параметрами и с логическими условиями.

11.     Золотых.Н.Ю. Сидоров.С.В ГРУППЫ, КОЛЬЦА, ПОЛЯ. Электронное учебно-методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012. 52с.

В сборнике содержится 316 задач по теории групп, колец и полей. Задачи снабжены ответами, задачи повышенной трудности - указаниями, а в некоторых случаях решениями.

Рассматриваются классификация и структура автоматизированных информационных технологий (АИТ), связанные с ними понятия и определения, роль предметной области.

13.     Некипелов, А. Д. Новая Российская энциклопедия [Электронный ресурс] : В 12 т.: Т. 6(2): Зелёна-Гура - Интоксикация / Редкол.: А. Д. Некипелов, В. И. Данилов-Данильян и др. - М. : Энциклопедия, ИД ИНФРА.

Новая Российская энциклопедия ( НРЭ) - фундаментальное универсальное справочно-информационное издание, представляющее читателям картину мира, отражающую современное состояние научного знания. Современное состояние научного знания.