ГЛ A B А 5
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГИРОТРОПНЫХ СРЕД
§5.1. Уравнения
В предыдущих главах изучалось, в основном, поведение фер ро-, антиферро- и ферримагнетиков в заданном переменном маг нитном поле (при наличии постоянного магнитного поля). Это поведение определялось тензором магнитной восприимчивости, компоненты которого мы находили, решая уравнение движения намагниченности или систему уравнений движения намагничен ностей подрешеток. Однако уже в § 1.4 отмечалось, что перемен ное магнитное полей, действующее на вещество в реальных систе мах, не может рассматриваться как заданное. Заданными явля ются поля или потоки энергии в каких-либо, обычно удаленных от ферромагнитных образцов частях системы. И для того чтобы полностью описать электромагнитные процессы в таких системах (найти как намагниченности, так и переменные поля), необходимо, кроме уравнений движения намагниченности, использовать урав нения электромагнитного поля, а также граничные условия на поверхностях раздела различных сред.
Простейшая задача такого |
типа рассматривалась в § 1.4; |
|||
исследуемая система представляла |
собой малый (по |
сравнению |
||
с длиной электромагнитной волны) |
ферромагнитный |
эллипсоид |
||
в неограниченном пространстве; |
на |
больших расстояниях |
от эл |
|
липсоида имело место однородное |
переменное магнитное |
поле. |
||
В этом случае применимы уравнения магнитостатики, и мы (сле дуя Киттелю) воспользовались известным решением их для эллип соида в однородном поле. Если образец — не эллипсоид или внеш нее поле не однородно, это решение, конечно, неприменимо. Если же размеры образца сравнимы с длиной электромагнитной волны,
то необходимо использовать уже не уравнения |
магнитостатики, |
а общие уравнения электродинамики. |
электродинамика |
Уравнения Максвелла. Макроскопическая |
неподвижных сред основывается на уравнениях Максвелла [40,43]
„ . |
1 |
дБ |
п |
divB = |
0, |
rot Е + |
— ~gf - |
0, |
|||
. тт |
1 |
3D |
4я т |
div D = |
(5.1.1) |
rot Н ------- 5— = |
--- J, |
4яі?, |
|||
|
с |
dt |
с |
’ |
|
§ 5.1] |
|
|
У РА В Н ЕН И Я |
225 |
|
|
|
|
|
||
где Е |
и Н |
— векторы |
электрического |
и магнитного поля, а D |
|
и В |
— электрической |
и магнитной |
индукции, J — плотность |
||
свободного |
тока, R — плотность свободного заряда. Напомним, |
||||
что входящие в уравнения (5.1.1) величины являются [43] усред ненными в пространстве и во времени значениями следующих
микроскопических величин: |
вектор Е — электрического |
поля |
||||
Ем, вектор D — величины |
Ем + 4яР |
(где |
Р — электрическая |
|||
поляризация), вектор |
В — магнитного |
поля |
Нм, а вектор |
Н — |
||
величины ГІМ— 4яМ |
(где |
М — намагниченность). |
|
|||
В настоящее время нет |
сомнения в справедливости уравнений |
|||||
Максвелла (5.1.1). Эта уверенность основывается на том, что все их следствия полностью подтверждаются опытом. Кроме того, они следуют из уравнений Максвелла — Лоренца для полей Ем и Нм в вакууме, все следствия которых также находятся в полном согласии с опытом.
Граничные условия. Граничные условия, т. е. соотношения, которым удовлетворяют векторы Е, Н, D и В на границе раздела двух сред, являются следствиями уравнений Максвелла. Если обозначить индексом 1 величины в одной из сред, а индексом 2 — в другой и ввести единичный вектор нормали к граничной поверхности п0 (направленный из первой среды во вторую), то граничные условия запишутся следующим образом [41, 26]:
Ех Xп0 — Е2 X п0 = О,
Dxn0 — D2n0 = 4яті,
(5.1.2)
HxXn0 - H 2x n 0 = ^ І ,
Bxn0 — B2n0 = 0,
где ц и I — поверхностные плотности свободных заряда и тока. Они равны нулю для реальных сред, но часто вводятся при приб лиженном рассмотрении границы очень плохо проводящей среды (диэлектрика) с хорошо проводящей (металлом). В этом случае в первом приближении *) можно считать, что поле в металле (вто рой среде) отсутствует и
ЕхХпо = 0 , |
Н іх п 0 = |
^ 1 , |
(5.1.3) |
|
Вхпо = 0, |
D]n0 = |
4ят]. |
||
|
Тогда в диэлектрике электрическое поле нормально, а магнитная индукция (но, вообще говоря, не магнитное поле!) касательна к поверхности раздела с металлом.8*
*) В следующем приближении на границе металла будут иметь место гра ничные условия Леонтовича (см., например, [37]).
8 А. Г. Гуревич
226 |
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГИРОТРОПНЫ Х СРЕД |
[ГЛ. 5 |
Материальные соотношения. Для того чтобы получить полную систему уравнений, к уравнениям Максвелла (5.1.1) следует до бавить так называемые материальные соотношения, дающие связь Л, J, D и В с векторами Е и Н. Величины R и J связаны между собой уравнением сохранения заряда
divJ + ^ = 0, |
(5.1.4) |
которое, как легко убедиться, является следствием третьего и чет вертого уравнений Максвелла (5.1.1). Поэтому достаточно допол
нить уравнения Максвелла |
соотношениями, связывающими J, |
D и В с Е и Н. Они должны |
явиться результатом микроскопиче |
ской теории, рассматривающей конкретные свойства вещества, или следовать из эксперимента.
Разделение микроскопической задачи об определении мате риальных соотношений и макроскопической задачи об интегриро вании уравнений Максвелла не всегда возможно. Часто эти зада чи должны решаться совместно. Такое положение имеет место, например, в случае металлов при достаточно высоких частотах, когда глубина проникновения поля в металл («толщина скинслоя») делается сравнимой или меньшей, чем характерные размеры,
определяющие |
свойства вещества, например, размер доменов |
|
или длина свободного пробега носителей |
тока. Но для инте |
|
ресующих нас |
веществ — неметаллических |
ферро-, антиферро- |
и ферримагнетиков, толщина скин-слоя достаточно велика, и ука занные задачи могут быть рассмотрены последовательно.
При достаточно больших (но легко достижимых на практике) величинах Е и Н материальные соотношения становятся нелиней ными, что приводит к нелинейности всей задачи, несмотря на строгую линейность уравнений Максвелла. В ферро- и ферримагнетиках зависимость В от Н существенно нелинейна уже при довольно малых полях.
Уравнения для комплексных амплитуд. Нас интересуют про цессы, при которых магнитное поле является суммой постоянного (или сравнительно медленно изменяющегося) и быстроперемен
ного полей: |
(5.1.5) |
Н = Н„ + h_. |
|
Для общности примем, что и электрическое поле |
|
Е = EQ-f- e^. |
(5.1.6) |
Тогда и остальные электродинамические величины представятся в виде таких же сумм:
D = |
D0 + d^, |
В = В0 + Ь_, 3 = J0 -f- j^, R = R0 p^. (5.1.7) |
Если переменные поляіі- и е~достаточно малы,.то связь d„> |
||
b« и |
и |
и h~ можно считать линейной. При этом все перемен' |
§ 5 . 1 ] |
У РА ВН ЕН И Я |
227 |
ные составляющие будут изменяться во времени по гармониче скому закону, если по такому закону изменяются заданные — «возбуждающие» переменные поля или токи. Воспользуемся, как и в предыдущих главах, методом комплексных амплитуд: запи шем переменные составляющие в виде
е_ (г, t) = Re [е (г) eiu<], (г, t) = Re fh (г) eiuf],..., (5.1.8)
где e (г), h (г) и т. д.— комплексные амплитуды соответствующих величин.
Подставив суммы (5.1.5), (5.1.6) и (5.1.7) в уравнения (5.1.1) и приняв во внимание (5.1.8), получим две независимые системы:
одну — для |
постоянных (или медленно меняющихся) величин |
Е0, Н0, D0, |
. . . и другую — для комплексных амплитуд быстро |
переменных величин. Первой системой, которая по форме будет совпадать с (5.1.1), мы интересоваться в дальнейшем не будем, считая, что решения ее известны. Заметим лишь, что при доста точно медленном изменении Е0, Н0 и т. д. во времени она распа дется на две независимые системы; систему уравнений электро статики для Е0, D0 и і?0 и систему уравнений магнитостатики для
Н 0і Во и Jo: |
rotH0 = |
— J0. |
(5.1.9) |
divB0 = 0, |
|||
|
С |
|
Система уравнений Максвелла для комплексных амплитуд
переменных величин запишется следующим образом: |
|
||
rot е -)- |
Ь = |
0, |
(5.1.10) |
div Ь = |
0, |
(5.1.11) |
|
roth |
d = |
|
(5.1.12) |
divd = |
4np. |
(5.1.13) |
|
Заметим, что уравнение (5.1.11) является непосредственным след ствием (5.1.10), а (5.1.13) следует из (5.1.12) с учетом соотно шения
div j + loop = 0, |
(5.1.14) |
вытекающего из уравнения сохранения заряда (5.1.4). Граничные условия для комплексных амплитуд не отличаются от (5.1.2) или (5.1.3).
Остановимся теперь на форме материальных соотношений, связывающих комплексные амплитуды j, d и Ь с комплексными амплитудами е й h 1). Плотность тока может быть записана
*) В дальнейшем, как и в предыдущих главах, мы будем опускать слова «комплексные амплитуды», подразумевая под всеми переменными величина ми их комплексные амплитуды.
8*
228 ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГИРОТРОПНЫ Х СРЕД [ГЛ . 5
следующим образом: |
|
|
|
j = a e + jCT, |
(5.1.15) |
44 |
44 |
Ома), а j0T — сторон |
где а — проводимость |
(j = ое — закон |
ний ток; в этот ток, который при решении уравнений Максвелла обычно считается заданным, входят токи, имеющие неэлектромаг нитное происхождение, а также токи, вызванные электромагнит ными полями, не рассматриваемыми в данной задаче.
Будем считать, что электрическая индукция d не зависит от h, а магнитная b — не зависит от е х). Тогда для малых амплитуд
d = |
£е, |
(5.1.16) |
b = |
ph, |
(5.1.17) |
где ех — диэлектрическая проницаемость, |
ар. — магнитная про |
|
ницаемость. Величины а, ех и р в общем случае являются тензо
р а м второго ранга |
с комплексными компонентами. |
уравнений |
|
Для |
того чтобы |
исключить векторы d и b из |
|
(5.1.10) |
— (5.1.13), |
подставим в эти уравнения |
выражения |
(5.1.15), (5.1.16) и (5.1.17) и примем во внимание (5.1.14); тогда получим
rot е 4- |
ph = |
0, |
|
(5.1.18) |
div (ph) = |
0, |
|
(5.1.19) |
|
r o th ---- —ее = |
— j0T, |
(5.1.20) |
||
|
44 |
4ярст. |
|
(5.1.21) |
div (ее) = |
|
|||
обозначено |
” |
. 4я « |
|
|
|
(5.1.22) |
|||
|
б = ех — г— |
б, |
||
|
х |
(В |
’ |
|
Рст == |
div jCT. |
|
(5.1.23) |
|
44
Комплексный тензор с мы будем называть электрической прони цаемостью среды (в отличие от диэлектрической проницаемости
8Х). Под электрической индукцией будем в дальнейшем понимать вектор
d = ее.
!) При этом исключаются из рассмотрения слабые магннтоэлектрические эффекты (см., например, [81]).