§ 5 . 1 ] |
У Р А В Н Е Н И Я |
233 |
составляющей (что, конечно, не просто и может быть выполнено строго лишь в немногих частных случаях), то остальные составля ющие можно будет получить с помощью уравнений Максвелла. Однако при этом снова придется решать дифференциальные урав нения. Поэтому целесообразно попытаться ввести некоторые ска лярные функции (потенциалы), для которых были бы справедли вы уравнения, аналогичные (5.1.39), и через которые все состав ляющие поля выражались бы простыми дифференцированиями.
Такой путь широко применяется в электродинамике сред со скалярными ц и е [29, 33], где потенциальные функции, удовлет воряющие дифференциальным уравнениям второго порядка, вво дятся отдельно для полей ТЕ и ТМ. Для гиротропных сред, как мы видели, полей ТЕ и ТМ в общем случае не существует. Однако для сред с параметрами (5.1.33) и (5.1.34) может быть введена скалярная функция ф *), которая удовлетворяет, как и декартовы составляющие поля, уравнению четвертого порядка
X (ф) = 0 |
(5.1.42) |
и через которую все составляющие поля выражаются при помощи операций дифференцирования.
Очень хотелось бы представить дифференциальный оператор X в виде произведения двух операторов второго порядка, сведя тем самым уравнения четвертого порядка для функции ф или со ставляющих поля к дифференциальным уравнениям второго по рядка. К сожалению, при произвольной зависимости полей от z это возможно только при ца = Еа = 0, т. е. если среда не обладает гиротропией.
Частный случай гармонической зависимости от ж. Рассмотрим теперь частный случай, когда составляющие поля, а следователь но, и скалярная функция ф зависят от z — координаты в направ лении постоянного магнитного поля по гармоническому закону. Тогда
Ф (х, у, z) — Z (z) фх (х, у), |
(5.1.43) |
где Z (z) — гармоническая функция (e^1^ 2, cos к. z, |
sin к. z или |
их линейные комбинации). Этот случай включает в себя и любые
поля, не зависящие от z |
(kz— 0). Для гармонической зависимо |
|
сти от z оператор X, как легко убедиться, примет вид |
|
|
2 = Ѵ І + Р Ѵ І-М , |
(5.1.44) |
|
где р и q — некоторые |
функции компонент тензоров |
(5.1.33) |
и (5.1.34), к0 и кг. Оператор (5.1.44), в отличие от общего случая произвольной зависимости от z, может бытъ представлен в виде
. *) Для магнитно-гиротропной среды — со скалярной е — это было по казано Эпштейном [449]. Случай бигиротропиой среды рассмотрен в [6].
234 |
О С Н О |
В Ы Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К И |
Г И Р О Т Р О П Н Ы Х С Р Е Д |
Ггл. 5 |
|||
произведения |
двух |
операторов второго |
порядка: |
|
|||
|
|
Z = (Ѵ І+ хі) (Ѵі + |
х*), |
(5.1.44') |
|||
где хх и х2 — корни |
квадратного |
уравнения |
|
||||
|
|
|
х4 — p t2 + |
9 = |
0. |
|
(5.1.45) |
Из (5.1.42) и (5.1.44') следует, что поперечная функция фх и пол ная функция ф удовлетворяют теперь уравнениям Гельмгольца
|
|
ѴдФі + |
< 2^1=0. |
(5.1.46) |
||||
-Корни |
уравнения (5.1.45) |
имеют вид |
|
|||||
[ f c o ( 8 II М а + |
М - 1 е ± ) — |
( 4 L |
|
|
||||
f c o ( е II М - ± |
,L l и е _ і_ ) |
|
( - ~ |
_ |
) « ] + f c o f c z 8 II Ц II |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.47) |
В случае |
изотропной среды |
|
(еа = |
р а — 0, 8ц = е, |
рц = р) |
|||
отсюда следует, что х? = |
х2 = |
|
к2 и |
имеет место известное соот |
||||
ношение |
[29] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k l |
= |
k |
l |
е р - |
X2. |
|
Для гиротропных сред оно не выполняется, и постоянная рас |
||||||||
пространения kz связана |
с собстственными значениями Xj и х2, |
|||||||
характеризующими распределение поля в поперечных плоско стях, более сложным образом.
При гармонической зависимости от z векторы поля выражают
ся через функцию ф следующим образом: |
|
е = иуф, h = V -gj- ѴФ- |
(5,1.48) |
Компоненты тензоров U и У [6] являются функциями компонент
тензоров р и е, величин к0 и к, и корней х1і2 уравнения (5.1.45). Существенно, что соотношения (5.1.48) справедливы не только в декартовых координатах, но и в любых ортогональных криволи нейных координатах, для которых выполняются следующие ус ловия:
1)зависимость от z является гармонической (или отсутствует),
2)направление постоянного намагничения совпадает с нап равлением координатных линий z.
На полученных соотношениях основывается довольно общий метод решения граничных электродинамических задач для ги
ротропных среде параметрами (5.1.33), (5.1.34). Он заключается в следующем. В системе координат, выбранной исходя из гранич ных условий задачи (и, конечно, удовлетворяющѳйприведѳнным
§ 5.2] |
О Д Н О Р О Д Н Ы Й П Л О С К И Й В О Л Н Ы |
235 |
выше требованиям), записываются два решения уравнения (5.1.46), соответствующие величинам хх и х2 (которые определяются по формуле (5.1.47)). Для каждого решения по формулам (5.1.48) опре деляются составляющие поля. Эти «элементарные решения» должны быть затем сгруппированы в удовлетворяющие граничным условиям задачи собственные типы колебаний или волн. Учет граничных условий позволяет определить характеристики рас сматриваемых колебаний или волн, например, собственные ча стоты полого резонатора, содержащего гиротропную среду, или постоянную распространения в волноводе с такой средой. При этом, однако, кроме приведенных выше условий, ограничива ющих выбор систем координат, возникают и другие ограничения, которых мы коснемся ниже (§ 6.1).
§5.2. Однородные плоские волны
Вкачестве первой, наиболее простой задачи электродинамики гиротропных сред рассмотрим распространение однородных пло ских волн в неограниченной среде *). Эта задача представляет интерес не только как пример использования уравнений электро динамики гиротропных сред, но и как модель волноводных систем, содержащих гиротропные среды.
Плоские волны в неограниченнойгиротропной среде. Рассмотрим однородную плоскую волну, которая распространяется в среде с параметра ми (5.1.33) и (5.1.34) под произвольным углом Ѳ
кнаправлению постоянного намагничивания —
оси z. Задача |
заключается прежде всего в оп |
|
||||||
ределении постоянной |
распространения |
этой |
|
|||||
волны в зависимости |
от параметров среды и |
Рис. 5.2.1. Оси коор |
||||||
угла Ѳ. |
|
|
|
|
|
|
динат при рассмотре |
|
Поскольку среда не обладает анизотропией |
нии плоской волны в |
|||||||
гиротропной среде. |
||||||||
в плоскости ху, оси X и |
у можно направить |
|
||||||
произвольным |
образом, |
например, |
так, |
чтобы волновой вектор |
||||
(см. рис. 5.2.1) |
лежал |
в |
плоскости |
yz. |
Тогда |
функция ф (см. |
||
предыдущий |
параграф) |
для этой волны запишется следующим |
||||||
образом: |
|
|
|
ф0е~‘ і***+*и\ |
|
|||
где |
ф = |
ф0ег*кг = |
(5.2.1) |
|||||
kz = k cosG, |
x = /csin6. |
(5.2.2) |
||||||
|
||||||||
*) Для однородной волны составляющие поля зависят только от одной координаты % — в направлении распространения. Для плоских волн коор-
дипата декартова, т. е. поверхности равной фазы q3 = const представля ют собой плоскости.
236 |
основы |
э й е к Т р о д И й а м й н й |
Г Й Р О Т Р О Й Н Ы Х С Р Ё Д |
[ГЛ. â |
|
Очевидно, что к |
в |
(5.2.1) совпадает |
с собственным значением |
||
X в общей теории, |
рассмотренной в предыдущем параграфе. За |
||||
висимость от координаты z является в данном случае гармониче ской, и справедливо уравнение (5.1.45). Подставляя в (5.1.45)
значения |
(5.2.2) величин kz и к, получим уравнение для волново |
|||
го |
числа |
к: |
|
|
к« ^ sin*2 Ѳ |
cos20 |
sin2 Ѳ . cos2 Ѳ |
||
*0 |
•к |
|
№ |
ч----г;— ) - |
fc2 sin20 ( ^ i + ^ ) + 2cos20 (1 + - ^ - ) ] + eaRx = 0, (5.2.3)
где k0 =co/c, а p,j_(и аналогично ejJ определяется согласно (5.1.36). Уравнение (5.2.3) можно получить и не прибегая к общей теории, рассмотренной в § 5.1, а исходя непосредственно [6] из уравнений Максвелла (5.1.18) и (5.1.26). Для однородной пло
ской волны, когда
е = e0e-ikr, h = h0e-ikr |
(5.2.4) |
(е0 и h0 — постоянные векторы), эти уравнения запишутся в виде
k X е„ + &0|аЬ0 = О,
(5.2.5)
к X Ь„ — /с0ее0 = 0.
Двум корням квадратного (относительно к2) уравнения (5.2.3) соответствуют две волны с различными волновыми числами х). Используя уравнения (5.2.5), можно определить поляризацию каждой из этих волн, т. е. найти направления векторов е0 и h0 и соотношения между их амплитудами и фазами. Это будет про делано ниже для некоторых частных случаев.
Для среды со скалярной е (поликристаллический ферро-, ферриили антиферромагнетик) решение уравнения (5.2.3) запишется следующим образом 2):
2 + sin2 Ѳ |
|
|
-f- 4 cos20 |
Vl |
/ |
sin26 |
cos20 |
, |
|
‘Ь |
г |
+ — |
) |
|
|
|
|
= А^ецэфф (Ѳ ). |
(5.2.6) |
*) Это обстоятельство не является специфическим для гиротропной среды
аимеет место для любых сред с тензорными е или р.
2)Формула (5.2.6) была получена Поддером [113] для случая рц = 1,
т. е. среды, намагниченной до насыщения.
і s.a |
ОДНОРОДНЫ Е ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ |
237 |
Заметим, что решение уравнения (5.2.3) при произвольных пара метрах среды и произвольном направлении распространения не может быть представлено в виде
к2 — Адвэффрэфф |
(5.2.7) |
где 8Эфф зависело бы только от Ѳи компонент тензора е, а рЭфф —
от Ѳ и компонент р. Однако такое представление возможно, как мы убедимся ниже, для некоторых направлений распространения.
Компоненты тензора р, входящие в (5.2.3) и (5.2.6), зависят от частоты (а также от Н 0 и параметров вещества). Эти зависи мости были подробно исследованы в предыдущих главах. Зави
сят, вообще говоря, от частоты и компоненты е. Если частотные
зависимости компонент jx и е подставить в выражения (5.2.3) или (5.2.6), то получатся уравнения, связывающие частоту коле баний со с волновым числом А. Эти уравнения называются дис персионными соотношениями. Зависимость со от А называют также (не особенно удачно) спектром волны.
С учетом диссипации компоненты р и е будут комплексными. Волновое число к, которое определяется уравнениями (5.2.3) или (5.2.6), окажется при этом также комплексным1):
к = к' - ік". |
(5.2.8) |
Дисперсионными соотношениями теперь будут зависимости к' (со) и к" (со). Если возможна запись (5.2.7), то, как легко убедится, справедливы формулы Аркадьева [27]
Продольно-намагниченная среда. Эффект Фарадея. Рассмотрим частный случай Ѳ = 0! (продольное намагничение). В этом слу чае решения уравнения (5.2.3) будут иметь вид
А2 = ко(е + еа) (р + ра). |
(5.2.11) |
1) Отрицательный анак перед іка взят для того, чтобы (для принятой зависимости от времени в*“*) волна затухала при положительном к”.
238 |
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ |
ГИРОТРОПНЫХ СРЕД |
[ГЛ. 5 |
|
|
Подставляя (5.2.11) в проекции уравнений (5.2.5) (при |
Ѳ = 0), |
||
получим |
|
|
|
|
|
ez = hz = 0, |
= |
-jjL = ip |
(5-2.12) |
|
е. |
|
|
|
7Г |
(5.2.13) |
|
Верхние знаки в (5.2.11), (5.2.12) и (5.2.13) соответствуют одной волне, а нижние — другой. Из (5.2.12) следует, что обе волны являются поперечными (ТЕМ) и имеют круговую поляризацию. Верхним знакам в (5.2.11), (5.2.12) и (5.2.13) соответствует волна с правым вращением, а нижним — с левым вращением векторов поля*). Этим волнам мы будем в дальнейшем приписывать индексы, соответственно п и л . Величину £ можно назвать волновым сопро тивлением продольно намагниченной среды для волн с правым и левым вращением.
Рассматривая случай Ѳ = я, мы получим те же выражения (5.2.11) и (5.2.12), а в (5.2.13) — обратные знаки перед радикалом. Заметим, что изменение знака волнового сопротивления при из менении направления распространения имеет место и для сред со скалярными параметрами. Из (5.2.11) и (5.2.12) следует, что при Ѳ = 0 или Ѳ = я могут быть введены эффективные скалярные параметры среды
®эфф п, л — 6 Ч і &аі Цэфф п, л — Ц i t М'а-
Это находится в соответствии с тем обстоятельством (см. §1.2), что = р dt Ца является магнитной восприимчивостью для попе речного поля с круговой поляризацией и правым или левым вра
щением.
При исследовании поперечных волн, в частности, в продольно намагниченной гиротропной среде очень удобно использовать ме тод двух комплексных плоскостей. Сущность его заключается в том, что вместо векторов поля, лежащих в плоскости ху, вводятся комплексные числа. Их вещественные части являются проекция ми соответствующих векторов на ось х, а мнимые — на ось у. Чтобы отличить эту пространственную комплексную плоскость от временной, введенной в связи с использованием комплексных амплитуд, мы будем мнимую единицу в пространственной плос кости обозначать через /.
Тогда комплексная амплитуда поперечного поля, например, электрического, линейного поляризованного в направлении, со ставляющем угол а с осью X, запишется в форме
еЛин = еі (cos а + j sin а) = Ч
Ч См. примечание 1 на стр. 31.