I 5 . 1 ] |
У РАВН ЕНИ Я |
229 |
Очевидно, что уравнения (5.1.19) н (5.1.21) являются следствиями (5.1.18) и (5.1.20) с учетом (5.1.23).
Из уравнений (5.1.18) и (5.1.20) нетрудно исключить е или h и получить дифференциальные уравнения второго порядка для каждого из этих векторов:
rot (р-1 rot е) — |
ее = |
— |
jCT, |
(5.1.24) |
н |
/л2 н |
/tTf |
++ |
(5.1.25) |
rot (е-1 rot h) — — ph = |
-^-rot (e_1jcT), |
|||
где p"1 и e-1 — тензоры, обратные тензорам p |
и e [35]. |
|
||
Большое практическое значение |
имеет случай, когда в рас |
||
сматриваемом объеме jCT= 0. Тогда |
из |
(5.1.20) и (5.1.21) получим |
|
roth — -у-ее |
= |
0, |
(5.1.26) |
div(ee) |
= |
0. |
(5.1.27) |
Уравнения (5.1.18) и (5.1.26), а также (5.1.19) и (5.1.27) переходят одно в другое при замене
e j± h , е ^ — р. (5.1.28)
Отсюда вытекает, что и все следствия этих уравнений инвариантны относительно замены (5.1.28) (если, конечно, соответствующим образом заменить граничные условия). Это обстоятельство извест но, как принцип перестановочной двойственности [33].
Введем теперь обозначения компонент тензоров р и е. Предста-
вим (-1 в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров [35]. Обозначим компоненты симметричного тензора
(t*c)ps = (t^c)sp = |-l PS = [''PS |
( 5 . 1 .2 9 ) |
(где р, s = l , 2, 3 = X, у, z), а компоненты антисимметричного тензора
(М'ао)ір = |
(t-l ac)sp = І р a s p = & (И-a ps |
Щарз) |
( 5 . 1 . 3 0 ) |
(для антисимметричного тензора р =f= s). Здесь pps, pps, p<rpS
и Paps — вещественные величины. Целесообразность введения именно таких обозначений будет ясна ниже. Три величины p0pS можно считать проекциями вектора 4ngm, где gm — магнитный вектор гирации, являющийся обобщением (1.2.25). Как легко убедиться,
Ь = p0h + i4 n h x g m. |
(5.1.31) |
230 |
ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГИРОТРОПНЫ Х СРЕД |
[ГЛ. 5 |
Тензор (Xможет быть представлен также в виде суммы эрмита-
вого (|хэ) и антиэрмитового (|лаэ) тензоров. Их компоненты1):
((1a)ps — |
"Ь Н1а PSi |
(P'aa)ps —1 Р а ps |
iP p s |
(5.1.32) |
|
(при р — s компоненты раps и j.iaps равны нулю). Соотношения, Ч-+
аналогичные (5.1.29) — (5.1.32), можно записать и для тензора г.
Тензоры р. и е являются функциями частоты, параметров ве щества (намагниченности, констант анизотропии и пр.), а также величин и направлений постоянных полей Н0 и Е0. Наиболее существенно, конечно, влияние Н0, которое и приводит к гиро-
тропии среды — появлению антисимметричных компонент
4-> Ч-+
тензоров |х и г, и магнитным резонансам — резонансным зави-
симостям компонент р от со и //„. Влияния Е0 мы не будем рассматривать, для интересующих нас сред оно мало.
Уравнения для изотропной среды. Остановимся на частном случае среды, изотропной в отсутствие поля Н0. Для такой среды, как было показано выше, любые тензорные параметры имеют вид (1.2.29), если направление Н0 (единственное выделенное направле ние) совпадает с осью z. В частности,
р- |
|
|
0 |
|
— ГIX |
|
|
0 |
(5.1.33) |
г а |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
е |
іеа |
0 |
|
|
— І Ѣ а |
6 |
0 |
|
(5.1.34) |
0 |
0 |
6 |
и |
|
|
|
|
Строго говоря, р и е любых изотропных (в отсутствие постоянно го поля) сред приобретают в присутствии магнитного поля вид (5.1.33) и (5.1.34). Однако лишь для некоторых сред гиротропные (антисимметричные) компоненты ра и еа имеют значительную вели чину. К таким средам относятся прежде всего подробно рассмот ренные в предыдущих главах ферро- и фѳрримагнѳтики. Для них (в диапазоне сверхвысоких частот) большую величину имеет
1) Соотношения (5.1.32) являются определениями эрмитовою и анти эрмитового тензоров. Иными словами, эрмитовым называется тензор, у которо го вещественные части компонент образуют симметричный тензор, а мнимые — антисимметричный; для антиэрмитового тензора — наоборот.
§ 5.1] У РАВН ЕНИ Я 231
pa, а еа практически равно нулю. Примером среды с большой га (и ца = 0) является плазма в магнитном поле [446]. Малыми, но все же заметными величинами р 0 обладают намагниченные пара магнетики и антиферромагнетики, а небольшими величинами еа — ряд кристаллов и жидкостей (в которых наблюдается, в ча стности, эффект Фарадея) [43].
Таким образом, при изучении явлений в гиротропных средах
можно обычно одну из величин, р или е, считать скалярной. Од нако мы будем в этой главе рассматривать так называемую бигиротропную среду, одновременно обладающую параметрами (5.1.33) и (5.1.34). Это даст определенные методические преиму щества (симметрия получаемых уравнений, использование при их выводе принципа перестановочной двойственности).
Ограничение же средами, изотропными в отсутствие внешнего магнитного поля, т. е. имеющими параметры (5.1.33) и (5.1.34), позволит изучить электродинамические эффекты в системах с гиротропными средами в наиболее простой форме.
После этих предварительных замечаний рассмотрим некоторые пути решения уравнений электродинамики для среды с параметра ми (5.1.33) и (5.1.34). Первым этапом решения должно быть полу чение уравнений для векторов е и h в отдельности. Один вари
ант таких уравнений — (5.1.24) и (5.1.25) был уже |
приведен |
выше. В данном случае входящий в (5.1.24) тензор |
*■* |
(р)-1 име |
|
ет вид |
|
1 |
1 |
^JL |
I- |
К |
1 |
pp_L |
|
0 |
0 |
KL = |
и -----Й— |
|
г ]»■ |
0
0 (5.1.35)
1 ^11
(5.1.36)
(тензор е-1 выражается аналогичным образом).
Уравнения (5.1.24) и (5.1.25) неудобны тем, что при проекти ровании их на оси любой, в том числе и декартовой, системы ко ординат получаются уравнения, в каждое из которых входят все три составляющие е или h. Уравнения для отдельных декарто вых составляющих е и h проще всего получить, исключая осталь ные составляющие из проекций уравнений Максвелла (5.1.18) — (5.1.21). Ограничимся случаем, когда jCT= 0. Тогда, исключая
232 |
О С Н О В Ы Э Л Е К Т Р О Д И Н А М И К И Г И Р О Т Р О П Н Ы Х с р е д |
Ггл. 6 |
поперечные составляющие, получим для продольных уравнения1)
( ѵ і |
+ |
-д ^ г + |
^ o S II |
ez -f к0]хI! |
|
|
|
|
(5.1.37) |
( ^ J L |
+ |
'y T 'J Z * + |
Ä o(-l |ls l ) |
h z — V l l |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.1.38) |
a Vj_ — оператор Гамильтона («набла») в поперечной плоскости:
п |
з |
, |
а |
„г |
а* . |
а2 |
|
|
— Х° дх |
+ |
Уо ду ’ Т- е‘ |
~~ |
дх2 + |
diß |
' |
Если среда не обладает гиротропией |
(е0 = |
ца = |
0), |
то систе |
|||
ма (5.1.37) распадается |
на независимые уравнения |
для |
ez и hz. |
||||
Отсюда следует хорошо известный факт существования в такой среде поперечно-электрических ТЕ (с ez — 0) н поперечно-маг нитных ТМ (с hz= 0) электромагнитных полей (см., например, [29]). Для гиротропных сред, как видно из (5.1.37), поля ТЕ и ТМ мо гут существовать только, если они не зависят от z.
Исключая из уравнений (5.1.37) одну из величины, ег или hz, и используя принцип перестановочной двойственности, мы убеж
даемся, |
что ez и hz удовлетворяют одинаковым уравнениям |
||||||||
|
|
|
£ (ez) = |
0, |
%(hz) = 0, |
(5.1.39) |
|||
где X — линейный |
дифференциальный |
оператор четвертого по |
|||||||
рядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = Ѵі |
еІІ(гі |
r \ |
в |
^ |
\L ) |
|
|
И- II 6 ± ) V j_ + |
|
ер. |
dzJ |
V i |
(e II (Aj. + |
||||||
|
+ |
2- |
■ |
( H I |
^gSa |
|
ÄoeII И- II SJLM-_L • |
(5.1.40) |
|
|
2/CQ6и|i |
\ |
"r |
")"£- + |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Можно показать (см. [439,6]), что уравнениям (5.1.39) удовлет воряют и поперечные составляющие векторов е и h, а следователь но, и сами эти векторы:
S?(e) = 0, Ä(h) = 0. |
(5.1.41) |
Подчеркнем, что, в отличие от уравнений второго порядка (5.1.24) и (5.1.25), при проектировании уравнений четвертого порядка (5.1.41) на оси декартовой системы координат получаются неза висимые (и одинаковые) уравнения для каждой составляющей е и h. Если мы найдем решения этих уравнений для какой-нибудь
!) Достаточно получить исключением поперечных составляющих одно из уравнений (5.1.37), второе можно написать сразу, пользуясь принципом перестановочной двойственности (5.1.28).