§ 8.3] ВОЛНЫ В ОГРА Н И ЧЕН Н Ы Х ТЕЛАХ И НЕОД Н О РО ДН Ы Х СРЕДАХ 407
движения аналогично тому, как электродинамические граничные условия получаются интегрированием уравнений Максвелла (см., например, [29]).
Считая для простоты неоднородное обменное взаимодействие
изотропным, т. е. тензор q в (2.1.7) скалярной величиной (qvs = = q), запишем исходное уравнение движения в виде
- і ® + М Х Н е„ + g M X Ѵ 2М + М X H s = 0. (8 .3 .5)
Здесь Herr включает в себя внешнее поле, размагничивакщее по ле и все эффективные поля (поле объемной анизотропии, эффектив ное поле, учитывающее диссипацию), не зависящие или слабо зави сящие от координат; поле Hs есть эффективное поле поверхност ной анизотропии, которое очень сильно зависит от координаты в направлении, перпендикулярном к граничной поверхности.
Поле Hs существует только в поверхностном слое толщиной d. Оно учитывает особые условия, в которых находятся магнитные моменты вблизи границы ферромагнетика. Не обсуждая подробно природу поверхностной анизотропии, заметим лишь, что источни ком ее, согласно Неелхо (см., например, [244]), может явиться то, что ионы у поверхности находятся в другом окружении, чем внутри ферромагнетика. Поверхностная анизотропия может воз никать также из-за наличия на поверхности тонкой пленки дру гого химического состава, чем внутри, например, антиферромаг нитной окисной пленки на границе ферромагнитного металла. Существенно, что интеграл от поля Hs по объему поверхностного слоя не является, вообще говоря, малым, несмотря на малую толщину слоя.
Поверхностная анизотропия может являться либо одноосной с осью — легкой или трудной, совпадающей с нормалью к поверх ности, либо однонаправленной (когда, в отличие от одноосной анизотропии, направления к поверхности и от нее не эквивалент ны). Рассмотрим для определенпости первый случай. Тогда, со гласно (2.2.5), ограничиваясь первой константой анизотропии, можно записать
H s = n 0 ^ j ( M n 0), |
( 8 .3 . 6 ) |
где п0 — единичный вектор внешней нормали к граничной поверх ности S (рис. 8.3.1). Величина Hs зависит — причем, как уже от мечалось, сильно — от координаты z' в направлении, перпенди кулярном поверхности, и обращается в нуль вне поверхностного слоя.
Проинтегрируем уравнение (8.3.5) по объему V (рис. 8.3.1)— тонкому диску с площадью а и толщиной 2d1 (где d^, хотя и ма
408 |
С П И Н О В Ы Е в о л н ы |
[ Г Л . 8 |
ло, но больше, чем толщина поверхностного слоя d), «разрезанно му пополам» граничной поверхностью S. При достаточно малом dx первые два члена (8.3.5) дадут пренебрежимо малые вклады и результат интегрирования можно будет записать в виде
Іі + і2 = о, |
(8.3.7) |
І! = ЛVМ X Ѵ2М dV, |
(8.3.8) |
V |
|
Ія = ( м х HsdV. |
(8.3.9) |
Применяя вторую формулу Грина [35] к проекциям (8.3.8) на оси декартовой системы коорди нат, нетрудно преобразовать Іх в пптеграл по поверхности 2 , ограничивающей объем диска У:
Іі = ? J М X (noaV)MdS. |
(8.3.10) |
Е |
|
Здесь п0е — единичный |
вектор |
внешней нормали к 2 , а (поЕу)М = = дШ/дп-z — производная М по направлению этой нормали. Ин тегралом по боковой поверхности диска в (8.3.10) можно пренебречь. На внешнем (лежащем вне ферро магнетика) основании диска М —0, а на внутреннем noS = —п0. Тог да, считая площадь основания о
малой (хотя и большей, чем боковая поверхность диска), получим окончательно
І1 = — одМ X (п0Ѵ)М, |
(8.3.11) |
где (п0у)М — производная М по направлению нормали к гранич ной поверхности 5. Подчеркнем, что в (8.3.11) входит величина М внутри ферромагнетика — на расстоянии от границы, превышаю щем толщину поверхностного слоя.
Займемся теперь интегралом (8.3.9). Учтем, что Hs существует лишь в поверхностном слое и изменяется быстро только в направ лении z', а площадь основания диска а является малой. Тогда, принимая для Hs выражение (8.3.6), получим
§ 8.3] В О Л Н Ы В О Г Р А Н И Ч Е Н Н Ы Х Т Е Л А Х И Н Е О Д Н О Р О Д Н Ы Х С Р Е Д А Х |
409 |
В (8.3.12) от z' может зависеть не только Hs, но и вектор М — его направление и длина. Если изменением М в поверхностном слое можно пренебречь, то (8.3.12) примет вид
І2 = ^ М X п0(Мп0), |
(8.3.13) |
где |
|
и. |
|
Ks = ^ H s c l z ' |
(8.3.14) |
о |
|
— поверхностная плотность энергии взаимодействий, учитывае мых эффективным полем Hs-
Можно рассмотреть и более общий случай, когда М изменя ется в поверхностном слое, однако таким «симметричным» обра зом, что направления вектора І2 и вектора М х н0 (вне поверхно стного слоя) совпадают. В этом случае выражение (8.3.13) можно по-прежнему считать справедливым, принимая в нем, как и в (8.3.11), величину М вне поверхностного слоя. Но теперь опреде лением поверхностной энергии K s будет уже не формула (8.3.14), а равенство выражений (8.3.12) и (8.3.13).
Подставляя (8.3.11) и (8.3.13) в (8.3.7), получим граничное
условие |
|
|
gM X (п„Ѵ) М + |
n0 X М(п0М) = 0. |
(8.3.15) |
Это условие накладывается на вектор М вблизи границы, но вне поверхностного слоя, а свойства поверхности учитываются един ственным параметром Ks-
Рассмотрим теперь случай малых колебаний намагниченно
сти: |
|
М = М0 + т е '“' , т < ^М 0 |
(8.3.16) |
и получим граничное условие для комплексной амплитуды пере менной намагниченности т . Подставляя (8.3.16) в (8.3.15) и при равнивая нулю линейные по щчлены, найдем в случае М0 = const, т. е. отсутствия доменной структуры,
£z0 X (п0Ѵ) m + n0 X z0 (n0m) + (n0z0) n0 X m = 0, (8.3.17)
где z0 — единичный вектор в направлении М0, а
(8.3.18)
Выражение (8.3.17) эквивалентно двум скалярным условиям для составляющих вектора т . Направив оси координат, как по казано на рис. 8.3.1 (ось х касательиа к граничной поверхности),