Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И
5.3. Формула парабол (формула Симпсона)
Ещѐ большая точность получается, если элементарные криволинейные трапеции заменить параболическими трапециями.
Разобьѐм отрезок [a,b] на чѐтное число n 2m равных
частей. Шаг |
разбиения |
при |
этом |
h |
|
b |
a |
и вычислим |
||
|
|
|
|
|||||||
|
2m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значения |
функции |
f(x) |
в |
|
точках |
деления: |
||||
y0 , y1, y2 ,..., y2m 2 , y2m 1, y2m . |
Рассмотрим |
n |
троек |
точек |
||||||
деления |
на |
|
кривой |
|
|
|
y=f(x): |
|||
A0 A1 A2 ; A2 A3 A4 ;... A2M 2 A2M 1 A2M . |
|
Через |
всякие |
три |
||||||
точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную параболу второй степени:
y ax2 bx c |
(5) |
Через выделенные тройки точек проведѐм параболы с осями, параллельными оси Оу. Площадь элементарной криволинейной трапеции заменится площадью элементарной параболической трапеции. Вычислим площадь такой трапеции.
Лемма: Площадь параболической трапеции с основанием
2h равна: S |
h |
y0 4 y1 |
y2 |
, где y0 и y2 - ординаты |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
||
кривой в крайних точках, а |
y1 |
- ордината кривой в середине |
|||
отрезка. |
|
|
|
|
|
Доказательство.
Положение начала координат на оси Ох не влияет на величину площади, поэтому выберем начало координат в середине отрезка. Тогда
116
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у0 |
|
|
|
|
|
у1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
-h |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
h |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 53.
A( h, y0 ); A1 (0, y1 ); A2 (h1 , y2 ) .
Учитывая (5), имеем:
|
h |
|
|
x 3 |
|
x 2 |
|
h |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
S |
|
|
ax2 |
bx c dx a |
b |
cx |
|
ah3 |
2ch . |
|||
|
|
|
|
|
||||||||
|
h |
|
3 |
2 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S |
h |
2ah2 |
bc . |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключим коэффициенты а и с. Так как A0 , A1 и A2 лежат на
параболе, то их координаты удовлетворяют уравнению параболы:
y0 ah2 bh c
y |
c |
4 |
y |
0 |
4y y |
2 |
2ah2 |
6c . |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
y2 |
ah2 |
bh c |
|
|
|
|
|
|
h
Следовательно, S 3 ( y0 4 y1 y2 ) ч.т.д.
Запишем эту формулу для каждой элементарной параболической трапеции:
117
S |
|
|
h |
( y |
|
|
4 y |
y |
|
); S |
|
|
h |
( y |
|
4 y |
|
y |
|
);... |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S2m |
|
|
|
|
h |
( y2m 2 4 y2m 1 |
|
y2m ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Складывая получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I 4 |
|
|
h |
[ y |
0 |
y2m |
|
|
2( y2 |
|
y4 .. |
y2m 2 ) |
y2m 2 |
|
||||||||||||
3 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
y1 |
|
|
y3 |
... |
y2m 1 ]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Это число принимают за приближѐнной значение интеграла:
b |
b a |
|
|
|
|
f (x)dx |
[ y0 y2m 2( y2 |
y4 ... |
y2m 2 ) |
||
6m |
|||||
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
4 y1 y3 ... |
y2m 1 ]. |
|
|
||
Полученная формула носит название формулы Симпсона. |
|||||
Если существует |
ограниченная |
f ( 4) (x) |
на a, b , то |
||
погрешность формулы Симпсона оценивается следующим
образом: |
|
R |
|
M 4 |
b a 5 |
, т.е. |
|
R |
|
h4 . Здесь M |
4 |
- наибольшее |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
180 2m 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
значение |
|
f (4) (x) |
|
на отрезке |
a, b . |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||
Все рассмотренные формулы тем точнее, чем больше n:
R0 при n 
. При одном и том же n формула Симпсона
–наиболее точная из них.
Пример. Вычислить приближенно
|
1 |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
3,14159 |
|
|
I |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
0,7854 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
0 1 x |
2 |
|
|
4 |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Разделим |
|
отрезок |
|
на |
10 |
частей. |
Вычислим значения |
||||||
функции в точках деления. |
|
|
|
|
|
||||||||
118
№№ |
x |
1+x2 |
1 |
|
|
|
|
|
y= |
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
0 |
0,0 |
1,00 |
1,0000 |
|
|
1 |
0,1 |
1,01 |
0,9901 |
|
|
2 |
0,2 |
1,04 |
0,9615 |
|
|
3 |
0,3 |
1,09 |
0,9174 |
|
|
4 |
0,4 |
1,16 |
,8621 |
|
|
6 |
0,6 |
1,36 |
0,7353 |
|
|
7 |
0,7 |
1,49 |
0,6711 |
|
|
8 |
0,8 |
1,64 |
0,6098 |
|
|
9 |
0,9 |
1,81 |
0,5525 |
|
|
10 |
1,0 |
2,00 |
0,5000 |
|
|
I1 |
1 |
|
|
y0 |
|
y1 ... |
y9 |
0,8100 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I 2 |
1 |
|
|
y1 |
|
y2 ... |
|
y10 |
0.7600 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
I 3 |
0.81 |
0.76 |
0.7850 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I 4 |
|
1 |
|
[1,5 |
|
2 |
y2 |
y4 ... |
y8 |
|
|||||
30 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
y1 |
|
y3 |
|
... |
y9 |
] |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
1,5 |
2 |
3,1687 |
4 |
3,9311 |
0.7854. |
|||||||
30 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Полученный результат хорошо совпадает со значением интеграла, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница.
119
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ CПИСОК
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1985. Т.1. 432 с.
2.Толстов Г.П. Элементы математического анализа. М.:
Наука, 1974. Т.1. 520 с.
3.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975. 624 с.
4.Слободская В.А. Краткий курс высшей математики.
М.: Высшая школа, 1969.
5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1996. Ч. 1.
120