Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
9a 2 cos4 t sin2 t |
9a 2 sin4 t cos2 tdt |
||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9a 2 cos2 t sin2 t cos2 t |
sin2 t |
|
3a |
|
cost sin tdt |
||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
L |
3a sin 2tdt |
a cos2t |
2 |
|
|
a. |
|
L 6a. |
|||||||||||||
4 |
2 |
4 |
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4.5. Площадь поверхности вращения
Пусть непрерывная кривая y 
f (x) 0 , заданная на отрезке a, b , вращается вокруг оси Ох. Найдѐм площадь поверхности вращения.
y dL
x+dx в
О |
x |
|
Рис. 44.
В точке с абсциссой х проведѐм плоскость, перпендикулярную оси Ох. Она пересечѐт поверхность по окружности радиуса y=f(x). Через бесконечно близкую точку x dx проведѐм другую плоскость, перпендикулярную первой. Эти плоскости выделят бесконечно узкую полоску поверхности, площадь
106
которой можно вычислить по формуле для усечѐнного конуса:
2 |
y y dy |
dL 2 ydL ydydL - бесконечно малая |
|
2 |
|||
|
|
высшего порядка. d
2 ydL .
b |
|
|
T |
|
|
2 y 1 y 2 dx или |
2 y x (t) 2 y (t) 2 dt . |
||||
a |
t0 |
||||
4.6. Вычисление объѐма тела по известным площадям поперечных сечений.
Объѐм тела вращения
1. Пусть дано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, которое проектируется на отрезок a, b оси
Ох. В произвольной точке х проведѐм плоскость, перпендикулярную оси Ох.
dx
S(x)
a |
x x+dx |
в |
|
Рис. 45. |
|
Величина площади поперечного сечения будет зависеть от х: S=S(x). Предположим, что эта зависимость известна, причѐм S(x) непрерывна на a, b . Через
бесконечно близкую точку проведѐм другую плоскость, параллельную первой. Тогда из объѐма будет выделен бесконечно малый слой dV, который можно принять за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx: dV S(x)dx и
107
b
V |
S(x)dx |
(13) |
a
Пример. Найти объѐм пирамиды с основанием В и высотой Н.
O
S(x)
x H
B
х
Рис. 46.
Пусть S – площадь сечения проведѐнной на расстоянии х параллельных сечений пирамиды расстояний их от вершины:
пирамиды плоскостью, от вершины. Площади относятся как квадраты
|
S |
|
x2 |
|
S |
B |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
H 2 |
H 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
B |
H |
|
B |
|
|
H 3 |
|
1 |
|
|
Из (13): V |
|
Sdx |
x2dx |
|
|
|
|
BH (куб. ед.) |
||||||||
|
|
H 2 |
|
H 2 3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху |
||||||||||||||
непрерывной кривой y=f(x) a |
x |
b , вращения вокруг оси |
|||||||||||||||
Ох. Найдѐм объѐм тела вращения. Это – частный случай предыдущей задачи. Любое сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, есть круг радиуса R y 
f (x) .
108
Поэтому площадь поперечного сечения S(x) y2 |
f (x) 2 и |
|||||
dV |
f (x) 2 dx . |
|
|
|
||
|
y |
|
|
|
||
|
y=f(x) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
x |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dx
Рис. 47
Отсюда:
|
b |
Vx |
f (x) 2 dx |
|
a |
(14) |
|
Пример. Сегмент параболы |
y 2 4x , отсекаемый |
прямой х=1, вращается вокруг оси Ох. Найти объѐм тела вращения.
|
|
|
|
y |
|
O |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 48. |
|
1 |
|
1 |
|
V |
4xdx 2 x2 |
|
2 (куб. ед.) |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
109
4.7. Статические моменты и координаты центра масс плоской фигуры
Статическим моментом материальной точки относительно оси ol называется произведение массы этой точки на еѐ расстояние до оси:
Ke mr
Если в плоскости Оху дана система материальных точек, то статическим моментом системы относительно координатной оси называется сумма статических моментов всех точек системы относительно этой оси:
K x |
m1 y1 |
m2 y2 ... |
mn yn |
или |
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
||
K x |
|
mk yk и K y |
|
mk xk . |
|
|||
|
k |
1 |
|
|
k |
1 |
|
|
Центром |
масс |
системы |
материальных |
точек |
||||
m1, m2 ,..., mn |
называется точка |
C(xc , yc ) такая, что если в |
||||||
ней |
|
сосредоточить |
|
всю |
массу |
системы |
||
m m1 |
m2 |
... |
mn , |
то |
|
ее |
статический |
момент |
относительно любой оси равен статическому моменту системы точек относительно той же оси:
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
K x mYc |
и K y mX c |
X c |
|
mk xk и |
||||
|
|
|||||||
m k |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
Yc |
|
mk yk . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
m k |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|||
Пусть y=f(x) непрерывна на a, b . На криволинейной трапеции распределена масса с поверхностной плотностью 
const . Выделим бесконечно узкий элемент фигуры с
основанием dx и высотой f(x) (который можно считать прямоугольником). Его масса будет:
dm f (x)dx |
(15) |
110