Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

считаем, что эта масса сосредоточена в центре масс прямоугольника (совпадает с его центром) с координатами

x, 2y

dK y

. Тогда dKx

f(x)

a x

y xdx K x

f (x)dx; X c

1	y ydx	1	y 2dx и
2	y ydx	2	y 2dx и
2		2

y/2

x+dx

b x

Рис. 49.

f (x) 2 dx;K y

x f (x) dx;

K y

;Yc

K x

111

5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Если функция f(x) непрерывна на отрезке a, b и

известна еѐ первообразная F(х), то определѐнный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница:

b
f (x)dx F (b) F (a) .	(1)

Однако во многих случаях первообразная функция F(x) не выражается через элементарные или находится слишком сложно. Поэтому возникает задача о приближѐнном вычислении интеграла.

Численные методы приближѐнного вычисления интеграла основаны на приближѐнном представлении определѐнного интеграла интегральной суммой I n или

величиной, близкой к I n : b

f (x)dx I n .

5.I. Формулы прямоугольников b

Пусть надо вычислить f (x)dx . Разобьѐм отрезок a, b

	a
на n равных частей длиной h		b a	точками
		n

x0 a, x1, x2 ,... xn b . Вычислим значения функции f(x) в этих точках:

y0 f (a); y1 f ( x1 );... yk f ( xk );... yn 1 f ( xn 1 ); yn f (b)

Составим две суммы:

112

у0

уn

уn-1

у0

у1

у2

х1

х2

х0=a

...

хn-1

xn=b

Рис. 50.

h y0

...

yk ...

yn 1

f (xk )h

h y1

...

yk ...

f (xk

1)h .

Каждая из этих сумм является частным случаем интегральной суммы для функции f(x) и отрезка a, b : k xk 1. Поэтому

при n эти суммы дают значение определѐнного интеграла (1). Если n достаточно велико (h мало), получаются суммы, мало отличающиеся от определѐнного интеграла. (площади ступенчатых фигур мало отличаются от площади криволинейной трапеции). Поэтому:

f (x)dx	b a	y		y ... y		... y		(2)
			0		k		n 1
	n			1

113

b	b a
f (x)dx	b a	y	y		... y		...	y		(3)
f (x)dx		y	y	2	... y	k	...	y	n	(3)
	n	1		2		k			n
	n
a
Полученные	формулы				носят			название		формул
прямоугольников.
Если функция f(x) возрастает на отрезке								a, b , то формула (2)

даѐт значение интеграла с недостатком, а (3) – с избытком.

Можно доказать, что если

f (x)

существует и ограничена на

a, b , то погрешность

формул

(16)

(17) можно

оценить

n 1

(b a)2

f (x)dx

следующим образом:

k 0

т.е.

порядка h.

(x)

Здесь M1 - наибольшее значение

на отрезке

a, b . В

более точных способах вместо интегральных сумм рассматривают суммы другого вида.

5.2. Формула трапеций

Как и в предыдущем случае, делим отрезок a, b			на n
равных частей: h	b a	. Каждую элементарную	дугу
	n

заменим соответствующей хордой, в результате чего криволинейная трапеция заменяется суммой площадей элементарных прямоугольных трапеций. Геометрически очевидно, что такие трапеции более точно выражает искомую площадь, чем прямоугольники. Площадь каждой элементарной трапеции равна:

114

у0

у2

у1

уk

у0

х0=a

х1

х2

...

хk

...

хn-1

xn=b

Рис. 51.

y0 y1

h;...

yn 1

h .

Складывая элементарные площади, получим :

y2 ...

h y0

a y0

f (x)dx

y2 ...

yn 1

(4)

Полученная формула называется формулой трапеций. Можно доказать, что если на a, b существует ограниченная производная f (x) , то ошибка оценивается формулой:

2 b

a 3

, т.е.

12n2

f (x)

на a, b .

Здесь М2 – наибольшее значение

115

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога