Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Смотрите также:

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Величины r и φ называются, соответственно, модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются символами:

r = | z |; φ = Arg z .

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой (из треугольника, рис 1);

r = | r | x 2 y 2

Все значения аргумента φ удовлетворяют соотношению

	tg	y

		x
		x

Угол φ называется аргументом комплексного числа z:

Arg z(

Arg z

)

Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2π. Если z =0, то аргумент произволен.

Наименьшее по модулю значение аргумента Arg z называется его главным значением:

	arg z	или 0		2
Главное значение аргумента определяется однозначно.
Очевидно:
Arg z arg z 2k		.	k	0, 1, 2,...
Из треугольника:		x =	\| z \| cosφ и y =		\| z \| sinφ . Поэтому
любое	комплексное		число	можно	записать	в

тригонометрической форме:
	z	x iy	\| z \| cos	i \| z \| sin	или ( \| z \| =r)
	z	r cos	i sin		(2)

Два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2кπ:

z1 z2

; 1

2 2k

k 0, 1, 2,...

Для перехода от алгебраической формы (1) к тригонометрической (2) пользуются равенствами:

x 2 y 2 ; tg

cos

; sin

Примеры:

Записать

комплексные

числа

тригонометри-

ческом виде

z2= i

1.z1

1; y

-1

1 cos0

sin 0 .

-i

Рис.2.

2.z2

i, x

0; y

, i

1 cos

2 i

sin

2 .

3.z3

1; y 0;

1 cos

i sin .

4.z4

0; y

2 ,

1 cos

i sin

2 .

3. Показательная форма.

Рассмотрим

показательную

функцию

мнимым

показателем ei . Положим по определению:

ei = cosφ - i sin - (формула Эйлера) (3)

Вывод этой формулы содержится в теории рядов. С еѐ помощью от тригонометрической формы (2) записи комплексного числа можно перейти к показательной:

Правая часть формулы (3) есть комплексное число с модулем, равным 1:

у			z	ei	;	(5)
		ei		cos2	sin2	(5)
i	z	ei		cos2	sin2	1

. Рис. 3.

При φ=0 z= e

Значит, равенство (5) на плоскости (z) определяет окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

i0 =1; при φ=π/2 z= ei/ 2 =I и т.д. Таким

образом, при изменении φ от 0 до 2π точки z						= ei	опишет
окружность единичного радиуса против часовой стрелки.
В отличии от функции e x , функция ei					периодическая с
периодом T = 2π.
ei 2	cos	2	i sin	2	cos	i	sin	ei

1.3. Действия над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определены те же действия, что и на множестве действительных чисел. Пусть

	z1	x1	i y1 и z2	x2	i y2
а) Сумма и разность двух комплексных чисел
определяется следующим образом:
	z1	z2	x1 x2	i y1	y2

т.е. при сложении комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются, а при вычитании вычитаются.

2 3i5 i 3 2 i

б) Произведение двух комплексных чисел получается по правилу умножения многочленов, учитывая, что i2 = -1:

z1z2

i y1 x2

i y2

x1x2

y1y2

i x1y2

x2 y1

Если комплексные числа заданы в тригонометрической

форме:

r1 cos 1

sin

, z2

r2 cos

i sin

2 ,

(6)

z1z2

r1r2 cos

1cos 2 - sin 1sin

i sin

1 cos

cos

1 sin 2

или z1z2

r1r2 cos

sin

2 .

здесь

z1z2

r1r2 и Argz1z 2

Argz1

Argz2

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

В показательной форме: z1z2 r1r2ei 12

в) Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению:

	z
1		z1	, если zz2	z1 z 2	0
	z2

В алгебраической форме:

	z1	x1	iy1		x1	iy1 x2	iy2	;
								;
	z2	x2	iy2		x2	iy2 x2	iy2
	z1	x1x2		y1 y2		i y1x2	x1 y 2
	z2				x 2	y 2
				2		2
Пример:			Вычислить:

2i 4

12 9i 8i

6 18 i

3i 4

16 9

25 25

Пусть числа z1

и z2 заданы в тригонометрической форме

(6). Найдѐм модуль и аргумент частного. По определению:

zz2

и Arg z1

Arg z Arg z2 .

Отсюда:

Arg z Arg z1 Arg z2 .

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

cos

i sin

или

1 2

г) Возведение комплексных чисел в натуральную степень.

Целая положительная степень комплексного числа

определяется так же, как и действительного:

z n z z...z .

Например: i 2

1; i 3

i 2i

i;i 4

i 3i

i4i i и т.д. В общем случае:

i4k

1;i4k 1

i;i4k 2

i;i4k 3

i .

Пусть число z задано в тригонометрической форме:

z=1+ix

Тогда

z r cos

i sin .

Отсюда:

z n

r n cosn

i sin n .

Рис. 4.

В показательной форме:

z n

r n ein

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Примеры: Записать комплексные числа в показательной

1 ei0 ; i ei




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога