Курсовая работа (т): Интегрирующий множитель

левые части полученных тождеств равны между собой, а тогда равны и правые, т.е.

. (1.18)

Условие (1.18) является необходимым для того, чтобы левая часть уравнения (1.4) была полным дифференциалом. Покажем, что это условие является и достаточным.

Действительно, пусть условие (1.18) выполнено. Покажем, что тогда существует функция , удовлетворяющая соотношению (1.5) или, что то же, обоим равенствам (1.16).

Будем исходить из первого из равенств (1.16):

. (1.19)

Нетрудно убедиться, что ему удовлетворяет функция

, (1.20)

где  - произвольная функция от , которую мы будем считать дифференцируемой и выберем её так, чтобы функция (1.20) удовлетворяла и второму равенству (1.16), т.е. чтобы

, (1.21)

. (1.22)

Используя условие (1.18), перепишем это равенство так:

. (1.23)

Выполняя интегрирование, получаем:

,

откуда

,

следовательно,

, (1.24)

где  - уже произвольная постоянная. Подставляя найденное выражение функции  в формулу (1.20), получаем искомую функцию :

, (1.25)

что и доказывает достаточность условия (1.18). Итак, тождественное выполнение равенства (1.18) является необходимым и достаточным признаком уравнения в полных дифференциалах.

Взяв одну из функций (1.25), например, ту, у которой , и приравняв её произвольной постоянной , получим общий интеграл уравнения (1.4) в следующем виде:

. (1.26)

Если при построении функции  брать за исходное второе из равенств (1.16), то мы получим для общего интеграла симметричное выражение

. (1.27)

В формулах (1.26) и (1.27) нижние пределы интегрирования  и  можно выбирать произвольно, но так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор  и  во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.

Пример 1. Рассмотрим снова уравнение (1.11):

.

, , , , (1.28)

так что условие (1.18) выполнено. Для получения общего интеграла воспользуемся формулой (1.26), где положим , тогда получим

. (1.29)

Выполняя интегрирование, получим общий интеграл опять в виде (12).

Пример 2. Дано уравнение

. (1.30)

Условие (1.18) выполнено. Применим формулу (1.26), положив , , получим:

, . (1.31)

(Мы не можем полагать , так как второй из интегралов оказался бы расходящимся).

Глава 2. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя

.1 Общая теория

Уравнение в полных дифференциалах всегда интегрируется в квадратурах. Поэтому естественно возникает вопрос: нельзя ли уравнение не в полных дифференциалах привести к виду уравнения в полных дифференциалах? Оказывается, что во многих случаях это можно сделать. А именно, удается найти функцию , после умножения на которую уравнение

преобразуется в уравнение

 (2.2)

в полных дифференциалах, т.е.

. (2.3)

Такая функция  называется интегрирующим множителем, а функция  - соответствующим ему интегралом уравнения (2.1). Общий интеграл уравнения (2.1) дается равенством

. (2.4)

Применяя признак полного дифференциала к уравнению (2.2), находим, что интегрирующий множитель  должен удовлетворять уравнению

. (2.5)

Запишем это уравнение в развернутом виде:

,

. (2.6)

Это - уравнение с частными производными с известной функцией .

Тем самым мы выясняли роль интегрирующего множителя для получения уравнения в полных дифференциалах. Докажем, что при некоторых условиях, гарантирующих существование общего интеграла существует и интегрирующий множитель.

Теорема (о существовании интегрирующего множителя). Если уравнение

 (2.7)

 (2.8)

в некоторой области , не содержащей внутри себя точек, где  и  обращаются одновременно в нуль, причем функция  имеет и интегрирующий множитель.

Действительно, так как  есть общий интеграл уравнения (2.7), то  в силу этого уравнения, т.е. мы имеем:

, (2.9)

где  определяется уравнением (2.7), так что  и  удовлетворяют системе уравнений:

 (2.10)

Эта однородная система имеет ненулевое решение (ибо , как дифференциал независимой переменной произволен). Поэтому

 (2.11)

. (2.12)

 , . (2.13)

, (2.14)

т.е. левая часть уравнения (2.7) становиться полным дифференциалом после умножения на функцию , определяемую равенством (2.12). Следовательно,  есть интегрирующий множитель уравнения (2.7).

Пример 1. Дано уравнение

. (2.15)

Интегрируя это линейное уравнение, получаем общий интеграл в виде

. (2.16)

Отсюда, согласно (2.12):

. (2.17)

С другой стороны, наше уравнение есть однородное. Поэтому оно имеет интегрирующий множитель

, (2.18)

а соответствующим ему общим интегралом будет

. (2.19)

В рассмотренном примере мы нашли два интегрирующих множителя для одного и того же уравнения. Кроме того, бросается в глаза связь между найденными интегралами: . Эти свойства «неединственности» интегрирующего множителя и наличия зависимости между интегралами одного и того же уравнения имеют место и для всякого уравнения, у которого обеспечено существование общего интеграла.

Теорема (о неединственности интегрирующего множителя). Если  есть интегрирующий множитель уравнения (2.1), а  соответствующий ему интеграл, то