Курсовая работа (т): Интегрирующий множитель

, (2.20)

где  - любая непрерывная функция тоже является интегрирующим множителем уравнения (2.1). Действительно, умножая левую часть уравнения (2.1) на функцию (2.20) получаем:

. (2.21)

Левая часть уравнения стала полным дифференциалом функции , следовательно, функция , определяемая формулой (2.20), есть интегрирующий множитель уравнения (2.1). Так как функция  произвольная, то мы имеем бесчисленное множество интегрирующих множителей.

Возникает вопрос: содержатся ли все интегрирующие множители в формуле (2.20)?

Заметим, что так как каждому интегралу уравнения (2.1) соответствует некоторый интегрирующий множитель и обратно - каждому интегрирующему множителю, по самому определению, соответствует некоторый интеграл уравнения (2.1), то естественно ожидать, что зависимость между интегрирующими множителями есть следствие зависимости между интегралами уравнения (2.1).

Теорема (об общем виде интегрирующего множителя и её следствие). Два любых интегрирующих множителя  и  уравнения (2.1): , связаны соотношением (2.20):

.

Пусть  и  - интегралы, соответствующие интегрирующим множителям  и , т.е. имеем равенства:

 (2.22)

Деля второе из этих равенств на первое, получаем:

. (2.23)

Так как, , причем Ф - непрерывно дифференцируемая функция, то

,

откуда ясно, что  и  связанны соотношением (2.20). Теперь мы можем утверждать, что все интегрирующие множители уравнения (2.1) содержатся в формуле (2.20).

Заметим, что в этой формуле мы можем заменить интеграл  любым интегралом , ибо любой интеграл уравнения является функцией от , а функцию  всё равно произвольна, так что  будет произвольной функцией от .

Следствие. Если  и  - два существенно различных интегрирующих множителя уравнения (2.1), то равенство

 (2.24)

является общим интегралом уравнения (2.1).

В самом деле, согласно формуле (2.20), мы имеем:

. (2.25)

Равенство  есть общий интеграл уравнения (2.1), следовательно, и (2.24) есть общий интеграл этого уравнения.

В частности, если уравнение (2.1) есть уравнение в полных дифференциалах и известен интегрирующий множитель , отличный от постоянной, то  есть общий интеграл этого уравнения, так как за  можно взять 1. Например, если уравнение (2.1):

однородное и в полных дифференциалах, то его общий интеграл дается равенством

, (2.26)

если только левая часть этого равенства не обращается тождественно в постоянную величину.

Пример 2. Дано уравнение

. (2.27)

, , поэтому  - общий интеграл.

. (2.28)

Это уравнение однородное и в полных дифференциалах. Поэтому  есть общий интеграл.

.2 Один общий способ нахождения интегрирующего множителя

Предположим, что левую часть уравнения

 (2.29)

можно разбить на две группы:

, (2.30)

причем так, чтобы для каждой группы можно было легко найти интегрирующий множитель. Пусть  и  - эти множители, а  и  - соответствующие им интегралы. Тогда, согласно (2.20) из п.2.1, все интегрирующие множители первой группы содержаться в формуле

, (2.31)

а все интегрирующие множители второй группы - в формуле

. (2.32)

Если удастся выбрать произвольные функции  и  так, чтобы

 (2.33)

(причем одну из функций  и  можно полагать равной единице), тогда  будет интегрирующим множителем всего уравнения (2.29). Заметим, что группы, на которые мы разбиваем левую часть уравнения (2.29), не обязательно должны быть полными, т.е. содержать и , и .

Пример 1. Рассмотрим уравнение

. (2.34)

Разобьем левую часть на две группы:

. (2.35)

Находим для каждой группы интегрирующие множители и соответствующие им интегралы:

, ; , . (2.36)

Условие (2.33) принимает вид

. (2.37)

Возьмем , , тогда . Следовательно, . Умножая данное уравнение на найденный интегрирующий множитель и используя формулу (1.26) из п.1.3, полагая в ней , найдем общий интеграл:

, . (2.38)

Пример 2. Дано уравнение

. (2.39)

Разобьем левую часть на две группы:

. (2.40)

Для первой группы, состоящей из одного слагаемого, очевидно, интегрирующий множитель равен 1, ибо  есть полный дифференциал от , общим решением уравнения  является  или , так что мы имеем , . Для второй группы легко найти интегрирующий множитель, так как соответствующее её уравнение  есть уравнение с разделяющими переменными. Мы имеем здесь , . Составим соотношение (2.33). Имеем:

. (2.41)

Чтобы правая часть была функцией только одного , возьмем . Тогда . Умножая уравнение (2.39) на  и используя формулу (1.27) из п.1.3, полагая в ней , , найдем общий интеграл: