Курсовая работа (т): Интегрирующий множитель

. (2.42)

.3 Случай интегрирующего множителя, зависящего только от  и только от

Предположим, что уравнение (2.29) имеет интегрирующий множитель, зависящий только от , . В этом случае , так что уравнение

 (2.43)

принимает вид

, (2.44)

. (2.45)

Отсюда следует, что для существования интегрирующего множителя вида  необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при  представлял собою функцию только от , т.е.

. (2.46)

Если это условие выполняется, то мы имеем:

, (2.47)

следовательно, функция

 (2.48)

является интегрирующим множителем уравнения (2.29).

Пример 1. Найдем интегрирующий множитель линейного уравнения

. (2.49)

Перепишем это уравнение в дифференциальной форме:

.

Проверяя выполнение условия (2.46), имеем:

.

Следовательно, функция

 (2.50)

есть интегрирующий множитель линейного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

.

Очевидно, что данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Попытаемся найти интегрирующий множитель . Поскольку выражение

не зависит от , то уравнение для определения  примет вид

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными одним из решением которого, является функция . Умножая обе части исходного уравнения на интегрирующий множитель , получаем уравнение в полных дифференциалах:

Интегрируя его, находим общее решение:

Найдем условие, при котором интегрирующий множитель зависит только от : . в этом случае уравнение (2.43) принимает вид

, (2.51)

. (2.52)

Если коэффициент при  является функцией только от , т.е.

, (2.53)

то интегрирующий множитель дается формулой

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

.

А значит, интегрирующий множитель существует и равен

.

Умножим исходное уравнение на , получим

.

Это уравнение в полных дифференциалах и оно интегрируется обычным образом.

2.4 Случай интегрирующего множителя вида

Рассмотрим более общий случай, когда интегрирующий множитель представляет собой функцию от заданной функции  переменных  и : .

В этом случае уравнение (2.43) для интегрирующего множителя можно переписать так:

 (2.55)

. (2.56)

Если коэффициент при  представляет собою функцию только от :

, (2.57)

. (2.58)

Случаи интегрирующего множителя, зависящего только от  или только от , содержаться в рассматриваемом случае при , .

Пользуясь условием (2.57), мы можем найти условие существования интегрирующего множителя наперед заданного вида.

Например, интегрирующий множитель, зависящий только от произведения  существует, если

 (здесь ). (2.59)

Условие существования интегрирующего множителя, имеющего вид , запишется так:

 (). (2.60)

Пример 1. Решить уравнение

Очевидно, найти интегрирующий множитель, зависящий только от одной переменной нельзя. Будем искать интегрирующий множитель в виде .

Пусть, тогда уравнение для нахождения примет вид

,

Умножая обе части исходного уравнения на данный интегрирующий множитель, получаем уравнение в полных дифференциалах:

Интегрируя полученное уравнение, находим общее решение:

.5 Интегрирующий множитель и особые решения

Зная интегрирующий множитель, мы можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения. Действительно, пусть дано уравнение (2.29):

и известно, что  есть его интегрирующий множитель, так что

.

Тогда мы имеем:

. (2.61)

Поэтому данное уравнение можно переписать так:

. (2.62)

Это уравнение распадается на два:

. (2.63)

Первое из них приводит к общему интегралу , а второе может привести к особому решению. Итак, особым решением уравнения может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.

Отсюда получаем простое правило нахождения особых решений:

) найти линии, вдоль которых  обращается в ;

) проверить, являются ли найденные линии интегральными кривыми, т.е. представляют ли они рения уравнений;

) проверить, содержится ли найденные решения в общем решении или нет.

Т.е. из найденных решений, которые не содержаться в общем решении, и будут особыми решениями. Если окажется, что  не обращается в бесконечность (или обращается в бесконечность лишь в отдельных точках), то уравнение не имеет особых решений. Отсюда, в частности, опять получаем, что линейное уравнение , где  - непрерывная функция, не имеет особых решений, так как его интегрирующий множитель (2.54) не обращается в бесконечность в промежутке непрерывности .

Исследуем при помощи интегрирующего множителя вопрос об особых решениях уравнения с разделяющими переменными и однородного уравнения.

2.6 Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение (2.29) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции  и  разлагаются на множители, зависящий каждый только от одной переменной: