Одесский национальный политехнический университет
Одесский национальный университет им. И.И. Мечникова
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ФОНДОВЫХ РЫНКОВ
В.А. Андриенко, профессор, д.ф-м.н, профессор
кафедры математического анализ,
В.М. Андриенко, доцент, к.е.н., доцент
А. Ш. Тулякова, аспирантка
Аннотация
В данной публикации кратко изложены теоретические основы интеллектуального исследования временных рядов и приведена практическая реализация теоретических положений на примере анализа украинского фондового индекса ПФТС.
Ключевые слова: случайный процесс, временной ряд, долговременная память, фрактальная размерность, хаотическая составляющая, нелинейная динамическая система.
Annotation
In this publication theoretical basis of intellectual research of temporal rows is briefly expounded and practical realization of theoretical positions is resulted on the example of analysis of the Ukrainian fund index of PFTS.
Keywords: casual process, temporal row, of long duration memory, fractal dimension, chaotic constituent.
Введение
Статистические данные экономических показателей, в том числе и фондового рынка, поступают в форме временных рядов. Временным рядом называется совокупность наблюдений экономического показателя в разные моменты времени. Анализ взаимосвязей экономических данных, представленных в виде временных рядов, является необходимой составной частью современных исследований в области макроэкономической динамики переходной экономики и эконометрики финансовых рынков. Учет временной структуры для данных о реальных экономических процессах позволяет адекватно отразить их в математических и эконометрических моделях.
1. Постановка задачи
Принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений, образующих случайную выборку, заключаются в следующем: члены временного ряда не являются независимыми и не обязательно являются одинаково распределенными. Это означает, что свойства и правила статистического анализа случайной выборки нельзя распространять на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя по эмпирическим значениям.
Обычно временной ряд рассматривают как выборку из последовательности случайных величин , где принимает целочисленные значения от до . Совокупность случайных величин называют дискретным случайным процессом или стохастическим процессом. Стохастический процесс называется стационарным в широком смысле если его свойства не изменяются во времени. В частности, он имеет постоянное математическое ожидание и постоянную дисперсию , а ковариация и зависит от разности [1].
В 1938 году Вольд доказал следующий фундаментальный результат [2]. Чисто недетерминированный стационарный в широком смысле случайный процесс может быть представлен в следующем виде: , а - белый шум с конечными математическим ожиданием и дисперсией. То есть всякий стационарный в широком смысле случайный процесс представляется в виде линейной комбинации белых шумов. При этом должно выполняться условие . Поскольку реализации белого шума не наблюдаемы, весовые коэффициенты определены с точностью до множителя. Без потери общности можно считать, что . Чем больше весовой коэффициент , тем больше влияние случайного возмущения в момент на текущий момент . Оказалось, что во многих случаях достаточно рассматривать не общее представление Вольда, а его частные случаи, когда число слагаемых конечно. Такими частными случаями являются белый шум, гауcсовский белый шум, известные в эконометрике процессы AR(p), MA(q), ARMA(p,q) и др. [1,6].
Экономические показатели, в частности показатели фондовых рынков, не всегда ведут себя стационарным образом. Из макроэкономики известно сезонное и циклическое поведение экономических показателей, кроме того, они могут иметь тренд. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться монотонно во времени. Аналитически данное положение можно выразить уравнением вида:
,
где - тренд ( долговременная тенденция ) развития;
- сезонная компонента;
- случайная величина ( случайная компонента).
Функция определяет общую тенденцию развития изучаемого явления. Тренд может быть выражен как детерминированной, так и стохастической функциями, либо их комбинацией. Компоненты временного ряда , , не наблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Выявление этих компонент и является задачей интеллектуального анализа. Детерминированную и периодическую компоненты можно определить с помощью спектрального анализа. Статистическую зависимость значений временного ряда выявляют на основе корреляционного и анализа. Названные выше методы описаны разрознено, в разных изданиях и публикациях. В настоящее время интеллектуальная технология, применяемая для анализа динамики показателей на фондовом рынке, представляет собой сочетание всех названных выше методов. Для этого пользуются специальными компьютерными программами. Популярными являются пакеты Eviews, Fractan, наиболее простым - надстройка Microsoft Excel, пакет AtteStat. Однако, не зная теоретических основ методов, невозможно правильно задать исходные параметры для расчетов и сделать правильные выводы по полученным результатам. В данной работе обобщен зарубежный и отечественный опыт по теоретическому обоснованию названных методов в аспекте их комплексного применения.
2. Теоретические основы методов интеллектуального анализа
2.1 Корреляционный анализ
Ковариация между значениями и , отделенными интервалом в k единиц времени, называется автоковариацией с лагом (задержкой) k и определяется формулой
, .
Для стационарных процессов автоковариация зависит только от лага k и , где . Нормированная автоковариация с лагом k называется автокорреляцией и равна
и обладает свойством
,
то есть является коэффициентом корреляции и характеризует степень линейной взаимосвязи между и. Совокупность значений ковариаций при всевозможных значениях k называетсяавтоковариационной функцией случайного процесса, а совокупность автокорреляций называется автокорреляционной функцией. Автокорреляционная функция показывает, насколько статистически зависимы значения временного ряда при различных сдвигах времени [1]. Статистические оценки приведенных показателей вычисляются по эмпирическим данным временного ряда и обозначаются соответственно . Оценка автокорреляционной функции называется коррелограммой (Рис.1).
Рис. 1 Коррелограмма
Следует отметить, что при больших значениях оценка для коэффициента автокорреляции малонадежна, это связано с заменой полного суммирования частичным. Поэтому поведению кореллограммы при больших значениях не следует придавать большого значения. Для заданного уровня вероятности (обычно при компьютерных вычислениях берут ) можно вычислить границы доверительного интервала, в котором нахождение значения функции автокорреляции при заданном лаге с вероятностью не противоречит предположению об отсутствии корреляции сечений с этим лагом. При графическом изображении функции автокорреляции или ее оценки - корреллограммы, эти интервалы дают две граничные кривые (выше и ниже оси абсцисс). Выход за эти граничные кривые рассматривается как указание на значимость корреляции с соответствующим лагом. Коррелограмма на Рисунке 9 выходит за пределы доверительного интервала на лагах 1- 6. Следовательно для этих лагов имеет место корреляция между и, . Если случайный процесс или временной ряд близок к белому шуму, то коррелограмма близка к горизонтальной оси, а ее значения близки к нулю. Если ряд стационарный, то автокорреляционная функция, начиная с некоторого момента, затухает или совсем исчезает [1]. Например, для процессов AR(p) и MA(q) она либо имеет вид затухающей синусоиды, либо экспоненциально убывает. Если функция медленно убывает на достаточно продолжительном временном периоде, то можно предположить, что ряд характеризуется долговременной памятью. Долговременная (длинная) память - это свойство, описывающее корреляционную структуру высокого порядка временного ряда, то есть существование значимой автокорреляции в моментах высших порядков. Подтверждение или отклонение этой гипотезы осуществляется на основе анализа.
2.2 Спектральный анализ
Спектральный анализ временных рядов включает:
- спектральное разложение ряда;
- совокупность статистических приемов, позволяющих оценить вероятностные характеристики временного ряда по результатам наблюдений, отображаемых через его спектральное представление.
В настоящее время для спектрального анализа используются метод Фурье и вейвлет -анализ.
Метод Фурье [3,4]. Любой стационарный процесс можно рассматривать как наложение некоррелированных друг с другом гармонических колебаний различных частот со случайными фазами и амплитудами.
Спектральное разложение случайной функции (случайного процесса) - это разложение в ряд или интеграл по той или иной специальной системе функций такое, что коэффициенты этого разложения представляют собой некоррелированные случайные величины. Говорят, что случайный процесс допускает спектральное разложение, если его можно представить в виде суммы (вообще говоря, бесконечной, то есть в виде бесконечного функционального ряда) элементарных гармонических случайных процессов . Такое представление иногда называют полигармонической моделью временного ряда.
Теорема о спектральном разложении. Предположим, что ковариационная функция стационарного случайного процесса может быть представлена в виде (при этом можно доказать, что все коэффициенты будут неотрицательны). Тогда допускает спектральное разложение вида
, (1)
где - некоторые случайные величины, независимые между собой, имеющие нулевое математическое ожидание и равные (при каждом отдельном ) дисперсии, а - математическое ожидание процесса .
Набор неслучайных частот, фигурирующих в этом разложении, называется спектром случайного процесса . В некоторых случаях разложение (1) функции можно найти с помощью ряда Фурье. А именно, если периодична, то она может быть разложена (при некоторых, довольно несущественных на практике, ограничениях на ) на отрезке в ряд Фурье, причем только по косинусам (так как -четная функция): . Тут спектр имеет вид . Коэффициенты вычисляются по обычным формулам Фурье:
На самом же деле периодической функция бывает довольно редко (и практически никогда для стационарных процессов). Поэтому предположение о ее периодичности довольно ограничительно и обычно может рассматриваться как довольно грубое приближение к реальности. Но если имеются основания считать периодической, то тут применима спектральная теорема и мы получаем разложение в сумму элементарных гармоник, частоты которых имеют вид . При спектр становится все более похож на непрерывный. Для непериодических используется не ряд Фурье, а преобразование Фурье (2), которое дает возможность исследования функций во временной () и частотной () областях.
(2)
где - случайный процесс, спектр процесса, -частота, .
Преобразование Фурье обладает способностью фокусировать в точку распределенную по времени информацию о периодичности функции при переходе из временной области в частотную. Достигается это за счет того, что ядро преобразования Фурье, функция , не локализовано во времени, но имеет предельную локализацию в частотной области. Это обстоятельство делает преобразование Фурье прекрасным инструментом для изучения процессов, свойства которых не меняются со временем, но плохим методом для исследования функций, характеристики которых эволюционируют во времени. Для устранения этого недостатка нужно локализовать преобразование Фурье на промежутках конечной длины. Формализация такого подхода может быть описана, например, с помощью оконного преобразования Габора [7]
(3)
Введенное под знак интеграла выражение временное окно выделяет лишь небольшой отрезок исходного временного ряда с центром в произвольной точке (Рис.2) и позволяет получить эволюцию спектра во времени.
Рис. 2 a) временной ряд, b) выделенное окно
Окно Габора имеет постоянную ширину, которая определяется параметром . Эффективная ширина окна определяет длину интервала , который дает главный вклад в значение интеграла в выражении (3). Длина является мерой временного разрешения, в то время как ширина спектральной линии определяет меру частотного разрешения. Эти характеристики связаны между собой соотношением .
Преобразование Фурье для (если оно существует, то есть если сходится соответствующий несобственный интеграл), называется спектральной плотностью стационарного случайного процесса и вычисляется по формуле: . Спектральная плотность - функция всегда неотрицательная, ее график является важной характеристикой стационарного случайного процесса. Сказанное здесь о случайных процессах относится и к временным рядам. Для них тоже используется спектральное разложение, которое широко применяется при практическом исследовании временных рядов.
На практике используется оценка спектральной плотности, которая называется периодограммой. Периодограмма является асимптотически несмещенной, но несостоятельной оценкой и применяется для выявления скрытых периодичностей. Вычисления периодограммы основаны на БПФ (Быстром Преобразовании Фурье) и проводятся только при наличии компьютера с соответствующей программой. При анализе периодограммы нужно обращать особое внимание на ее пики. Большой пик в области некоторой частоты указывает на то, что в спектральном разложении автокорреляционной функции присутствует цикл. Чем выше и резче выделен пик, тем большая часть мощности сосредоточена около частоты и тем большую роль играет эта частота в описании соответствующего случайного процесса или временного ряда. На Рис. 3 представлена периодограмма ряда, которая указывает на то, что спектр амплитуд содержит два пика, то есть анализируемый ряд имеет два цикла.