Рис. 3 Периодограмма
На практике периодограмма применяется для поиска оптимально подходящего параметра усреднения скользящих средних, с целью фильтрации информации. Напомним, что фильтрацией называют такое преобразование исходной функции, которое приводит к изменению ее спектрального состава. Рынок не постоянен и на нём присутствует много шумов. Шумы формируют ложные впадины и пики. Частично проблема решается различными фильтрами, например подбором скользящих средних. Так, скользящая средняя с параметром усреднения M дней может обрезать (сократить) амплитуду колебаний любой из применяемых гармоник, период которой будет меньше значения М.
Условно можно разделить спектры для дневных графиков поведения активов на рынке на несколько спектральных полос:
- низкочастотные - диапазон частот от 0 до 4 циклов в год. Как правило, это долгосрочные тренды, им соответствует цикличность более 60 дней;
- среднечастотные - диапазон частот от 5 до 40 циклов в год. Обычно это среднесрочные и краткосрочные циклы. Им соответствует период цикличности в 6-60 дней;
- высокочастотные - диапазон частот от 41 до 130 циклов в год. Это
рыночный шум, на который приходится большая часть спектра. Соответствующий период цикличности менее шести дней.
Таким образом, можно фильтровать частоты, неинтересные для торговли, заменяя исходный ряд данных на скользящую среднюю с соответствующим параметром усреднения М. Для трейдеров, работающих на долгосрочных частотах, анализ спектра помогает подобрать период скользящей, сохраняющий силу низких частот, и снижает помехи оказываемые средними и высокими частотами, убирая их пики. Трейдеры, работающие на средних частотах могут без проблем фильтровать высокие и низкие частоты, оставляя нужные сильные пики средних частот.
Для детерминированной непериодической составляющей периодограмма бесконечно возрастает на низких частотах. Если случайный процесс или временной ряд близок к белому шуму, топериодограмма близка к горизонтальной оси, а ее значения близки к нулю.
Вейвлет анализ [5]. При использовании преобразования Габора (3) возникает проблема выбора ширины окна во временной области. Слишком широкое окно может обеспечить разумное представление низкочастотных компонент ряда, но его ширина будет избыточной для гармоник с высокой частотой. Наоборот, достаточно узкое окно даст возможность изучить вариации во времени высокочастотных компонент, но оно не будет адекватным для низкочастотных гармоник. Если сделать оконную функцию зависящей от частоты так, чтобы для низких частот окно становилось шире, а для высоких уже, то оконное преобразование Фурье переходит в новый класс преобразований, который получил название вейвлет-преобразования. Термин «вейвлет» происходит от английского слова wavelet, буквальный перевод которого означает «маленькая волна» или «всплеск».
Интегральным вейвлет - преобразованием функции называется выражение
,
где , символом * обозначена процедура комплексного сопряжения, функция называется вейвлетом (анализирующим, базисным или материнским вейвлетом). Параметр определяет размер вейвлета и называется масштабом (scale). Его аналогом в Фурье-анализе является период (частота) гармонического колебания. Понятие масштаба - более широкое, чем понятие периода. Это связано с тем, что в Фурье-преобразовании функциональный вид ядра преобразования зафиксирован раз и навсегда, в то время как вейвлет- преобразование одной и той же функции можно получить с помощью различных базисных вейвлетов, то есть в разных системах масштабов. Параметр задает временную локализацию вейвлета и называется сдвигом (shift). Этот параметр не имеет аналога в Фурье-преобразовании.
Двухпараметрическая функция дает информацию об изменении относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется спектром коэффициентов вейвлет-преобразования. Таким образом для каждого значения масштабного коэффициента величины , определенные с помощью вейвлет-преобразования, представляют собой результат фильтрации исходной функции в диапазоне частот, центр которого определяется значением масштабного коэффициента, а размер - свойствами принятого анализирующего вейвлета.
Помимо интегральных вейвлет - преобразований в отдельных
приложениях (численное моделирование, сжатие изображений и т.д.) нашли широкое применение дискретные вейвлет-преобразования, основанные на использовании целочисленных сдвигов и задании масштабов степенями двойки. Опыт показал, что для анализа временных рядов непрерывные преобразования более удобны, чем дискретные.
Располагая вейвлет-спектром, можно рассчитать полную энергию ряда
.
Величина
(4)
называется плотностью спектра энергии, она определяет спектральную характеристику не только для заданного масштаба, но и для параметра сдвига . По этой причине ее называютлокальным спектром энергии. В противоположность этому величину
= (5)
называют глобальным спектром энергии.
Оценку локального спектра энергии (4) называют скалограммой (scalogram), подчеркивая тем самым ее способность описывать распределение энергии по масштабам. Значения скалограммы лежат на поверхности, для изображения которой используют два способа:
1) представление поверхности в трехмерном пространстве координат ;
2) плоское изображение поверхности в виде топографической карты.
Масштаб третьего измерения указывается либо оцифровкой изолиний, либо раскраской областей между изолиниями. Такие графики можно построить с помощью графических пакетов Mathcad, Matlab, Surfer и др. ( Рис.4а, 4б).
Рис. 4а Скалограмма временного ряда в виде топографической карты
Рис. 4б Скалограмма в виде поверхности
Бывает так, что широкие контуры линий, близких по частоте гармоник мешают проследить за эволюцией их частот по времени. Чтобы отсечь влияние контуров, можно выделить те точки скалограммы, в которых она имеет максимумы по переменным и . Такую функцию называют скелетоном. В случае синусоидального ряда, точки скелетона располагаются вдоль линий, идущих параллельно оси времени. Если в данных имеются гармонические или квазигармонические компоненты, то топографическая карта скелетона будет состоять из линий, ориентированных вдоль оси периодов . В случае шумовой компоненты, линии скелетона вытягиваются в перпендикулярном направлении, то есть параллельно оси времени . Если в данных присутствуют и гармонические компоненты и шум, то карта скелетона позволяет увидеть их раздельно (Рис. 5,6).
Рис. 5 Скелетон скалограммы в виде топографической карты
Рис. 6 Скелетон скалограммы в виде поверхности
Рис. 6 показывает линии скелетонов в направлениях осей времени и периодов. Можно сделать вывод, что в состав исследуемой последовательности входят как квазигармонические компоненты, эволюционирующие во времени - линии, идущие по направлению оси времени, так и чисто шумовые компоненты, линии, идущие перпендикулярно оси времени.
Выбор анализирующих функций диктуется тем, какую информацию нужно извлечь из временного ряда. Для более полного выявления особенностей анализируемого ряда, используют различные вейвлеты.
В спектральном анализе временных рядов выделение значимой компоненты из шума производится с заданной вероятностью на основе статистических критериев. Обычно в качестве стохастической компоненты временного ряда принимается белый шум. Критерий выделения шума позволяет построить массив значений скалограммы, которые с заданной вероятностью принадлежат значимой, а не шумовой составляющей. Иногда выделяют шум не из самой скалограммы, а из ее скелетона. На рисунках 7 и 8 представлены линии скелетона в виде топографической карты и поверхности соответственно.
Рис. 7 Значимая компонента скелетона, выделенная из шума с вероятностью 0,99 в виде топографической карты
Рис. 8 Значимая компонента скелетона, выделенная из шума с вероятностью 0,99 в виде поверхности
Оценку глобального спектра энергии (5) называют нормированной скалограммой или скейлограммой(scalegram). Скейлограмма является прямым аналогом сглаженной периодограммы в Фурье-анализе. График скейлограммы показан на Рис.9.
Рис. 9 Скейлограмма
Штриховой линией обозначен порог обнаружения шума. Значимой компоненте соответствует часть графика, расположенная выше штриховой линии, а все остальное - шумы.
Спектральный анализ позволяет выявить наличие детерминированных компонент во временном ряде. Если эти компоненты удалить из ряда, то можно получить стационарный ряд. Бокс и Дженкинс [8] предложили компоненту исключать дифференцированием, то есть вычислением последовательных разностей. Если ряд после вычисления последовательных разностей приводится к стационарному, то такой ряд называют ARIMA(p,d,q) (авторегрессионный проинтегрированный процесс скользящего среднего - Autoregressive Integrated Moving Average) порядка (p,d,q), которые моделируют различные ситуации, встречающиеся при анализе стационарных и нестационарных рядов. При этом p параметр AR - части, d - степень интеграции, q - параметрMA - части. Периодическую составляющую удаляют вычитанием ее из ряда. Однако, следуя методологии Бокса и Дженкинса, можно сделать ошибочные выводы [9]. Дело в том, что в экономике долгое время игнорировалась возможность дробного значения параметра d. В работах зарубежных ученых, в первую очередь, C.W.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran [10], был предложен новый класс моделей ARFIMA(p,d,q)(авторегрессионный дробно - интегрированный процесс скользящего среднего - Autoregressive Integrated Fractional Moving Average), допускающий возможность нецелого параметра d. Характеристики таких временных рядов обладают важными свойствами, например, является стационарным и обратимым при . Если исследуемый ряд имеет тренд и долговременную память, то можно предположить, что он представляет собой авторегрессионный дробно - интегрированный процесс скользящего среднего.
2.3 R/S анализ
В рамках созданного Э. Херстом анализа [11] используется уравнение
, (6)
где - размах частичных сумм отклонений значений ряда от его среднего значения, - стандартное отклонение ряда, - среднее значение ряда, - показатель Херста.
Показатель Херста - это тангенс угла наклона прямой (6) к оси абсцисс в координатах , . Оценку показателя Херста находят из эмпирического уравнения линейной регрессии. Для этого вычисляют размах для подпоследовательностей различной длины исходного ряда. Затем по методу наименьших квадратов находят оценку угла наклона прямой к оси абсцисс . Алгоритм предложен Э. Петерсом и подробно описан в [11]. Показатель Херста связан с величиною d модели ARFIMA(p,d,q) соотношением . В результате могут получиться следующие оценки:
1) - такое значение указывает на то, что ряд обладает персистентным свойством. Ряд характеризуется эффектами долговременной памяти и имеет склонность следовать трендам. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Трендоустойчивость поведения увеличивается при приближении Н к единице. Персистентный временной ряд является самым распространенным типом, встречающимся в природе, а также в экономике, и на фондовых рынках. Такой ряд называютдробным броуновским движением или обобщенным броуновским движением или фракталом.
2) - означает антиперсистентность, то есть ряд меняет направление чаще, чем случайный ряд. Наблюдения зависимы, каждое из них несет память о предыдущих событиях. Рынок неустойчив. Чем ближе значение к нулю, тем неустойчивей динамика цен (за подъемом следует спад и наоборот).
3) - соответствует случайному ряду. Наблюдения случайны и независимы. Такой процесс полностью лишен памяти. Рынок стагнирует, нет никаких движений или они цикличны с очень большой частотой колебаний.
4) - очень редкое явление. Возникают независимые скачки амплитуды, распределенные по Леви [12].
Херст сформулировал свой эмпирический закон [13]. Он предложил формулу для оценки величины по значению :
, - количество наблюдений.
В этой формуле предполагается, что в соотношении (6) константа . Федер показал [13], что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать , когда , и, наоборот, преуменьшать, если . Однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение.
При подсчете показателя Херста необходимо проверять гипотезу о его значимости. В работе [15] предлагается рассматривать вопрос о поведении среднего значения , где усреднение отвечает справедливости гипотезы о случайном ряде. Данные по значениям можно найти в [11]. К сожалению, анализ чувствителен к краткосрочным зависимостям. Э. Ло обнаружил этот факт и модифицировал статистику таким образом, чтобы ее статистические свойства оставались инвариантными для обширного класса процессов с короткой памятью, но изменялись для процессов с длинной памятью. Дело в том, что дисперсия частичных сумм не равна сумме дисперсий отдельных членов, она должна включать и автоковариации. Следовательно, оценка должна отражать не только суммы квадратов отклонений, но и взвешенные автоковариации до некоторого лага . Поэтому Э. Ло предложил заменить величину в знаменателе более сложной суммой [16]: