Дипломная (вкр): Исследование свойств многослойных нанокомпозитных сегнетоэлектрических пленок в диапазоне СВЧ

. (4.22)

Решаем это уравнение методом разделения переменных. Представим  в виде

.

Подставив  в (4.22), получим

. (4.23)

Поделим (4.23) на

. (4.24)

Представим (4.24) в виде

.

Получили два уравнения

 (4.25)

. (4.26)

Ищем решение уравнения (4.25) в виде

.

Расположим магнитную стенку по . Тогда граничные условия для на электрической и магнитной стенках примут вид

 и .

Первое условие приводит к , второе условие приводит к , откуда

Таким образом

.

и

Из первого условия следует, что , а второе условие дает , откуда

Таким образом

.

Ищем решение уравнения (2.26) в виде

Таким образом, векторы Герца в области ребра имеют вид

 (4.27)

. (4.28)

В соответствии с граничным условием на ребре при  сингулярность поля имеет порядок , где . Поэтому  и . В суммах (4.27) и (4.28) следует оставить члены  и  при n=0.

Введем весовую функцию для  в виде , а для  в виде .

Этим весовым функциям соответствуют ортогональные полиномы Чебышева первого рода нулевого и четных порядков  и второго рода нечетных порядков .

Исходя из этого, представим f(x) и g(x) на интервале [-1,1] в виде

.

Тогда

 (4.29)

.

Введем  , отсюда .

Перепишем (4.29) в виде

Интегралы в этих соотношениях вычисляются в аналитическом виде. После интегрирования получим

,

где: и  - функции Бесселя первого рода.

Обозначим

тогда

 (4.30)

По методу Галеркина умножим первое и второе уравнения системы (4.21) на  и  соответственно и проинтегрируем по ξ на интервале [-1,1]. Под интегралом будет

Аналогично (3.30) получим

Сведем систему (4.21) к матричному виду. Получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

 (4.31)

где:

Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальные решения, если

. (4.32)

Приближенное значение постоянной распространения γ находиться численным решением дисперсионного уравнения (4.32).

Рассматриваемая щелевая линия образована на слоистой диэлектрической структуре. Поэтому плоская граница между сегнетоэлектрической пленой и диэлектрической подложкой не совпадает с координатной поверхностью полярной системы координат, в которой удобно вести анализ электромагнитного поля вблизи края электрода. Таким образом, строгое обоснование порядка сингулярности трудно выполнить. Тем не менее, можно с очень малой ошибкой считать, что касательные составляющие электрического поля на поверхности СЭП и на границе с подложкой. На толщине пленки порядка 10-3 мм не может произойти заметное изменение касательного поля. Следовательно, порядок сингулярности можно сохранить тем же, что и в обычных щелевых линиях, образованных на однослойных диэлектрических подложках с ε ~ 10. поэтому в качестве базиса были использованы полиномы Чебышева.

4.2.1 Численный расчет зависимости постоянной распространения электромагнитного поля от температуры и напряженности электрического поля

Зададим числовые параметры для структуры, изображенной на рис.3.8:

• ширина щели - w=0.1 мм;

• толщина подложки - d2 = 0.5 мм;

• диэлектрическая проницаемость подложки - ε = 20;

• диэлектрическая проницаемость воздуха - ε0 = 8.854·10-15 Ф/мм;

• расстояние d0 = d3 =100 мм;

• толщина пленки - d1 ≈ 1..2 мкм;

• количество нанослоев - N=4;

• рабочий диапазон температур - 263..313 К;

• напряженность электрического поля - Е0=0 В/мм, Е1=100 В/мм.

В связи с тем, что в процессе изготовления пленки точность при получении таких параметров как толщина - в пределах 10%, концентрация бария - в пределах 1%, зададим в случайном порядке эти отклонения.

(Расчет проводился в программной среде MathCAD-14).

) • рабочая частота - f = 20 ГГц;

• толщины нанослоев: ∆1=0.2 мкм, ∆2=0.3 мкм, ∆3=0.15 мкм, ∆4=0.24 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.3.11.

Рис.4.4.

При отклонении параметров:

• толщины нанослоев: ∆1=0.21 мкм, ∆2=0.315 мкм, ∆3=0.15 мкм, ∆4=0.25 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.5.

Рис.4.5.

• толщины нанослоев: ∆1=0.19 мкм, ∆2=0.29 мкм, ∆3=0.145 мкм, ∆4=0.228 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.6.

Рис.4.6.

• толщины нанослоев: ∆1=0.2 мкм, ∆2=0.3 мкм, ∆3=0.15 мкм, ∆4=0.24 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.502, x2= 0.402, x3= 0.603, x4= 0.703.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.7.

Рис.4.8.

• толщины нанослоев: ∆1=0.2 мкм, ∆2=0.3 мкм, ∆3=0.15 мкм, ∆4=0.24 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.498, x2= 0.398, x3= 0.598, x4= 0.697.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис4.9.

Рис.4.9.

) • рабочая частота - f = 30 ГГц;

• толщины нанослоев: ∆1=0.4 мкм, ∆2=0.6 мкм, ∆3=0.3 мкм, ∆4=0.48 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.10.

Рис.4.10.

При отклонении параметров:

• толщины нанослоев: ∆1=0.42 мкм, ∆2=0.63 мкм, ∆3=0.315 мкм, ∆4=0.5 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.11.

Рис.4.11.

• толщины нанослоев: ∆1=0.38 мкм, ∆2=0.57 мкм, ∆3=0.285 мкм, ∆4=0.46 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.12.

Рис.4.12.

• толщины нанослоев: ∆1=0.4 мкм, ∆2=0.6 мкм, ∆3=0.3 мкм, ∆4=0.48 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.502, x2= 0.402, x3= 0.602, x4= 0.703.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.13.

Рис.4.13.

• толщины нанослоев: ∆1=0.42 мкм, ∆2=0.6 мкм, ∆3=0.315 мкм, ∆4=0.46 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.502, x2= 0.402, x3= 0.602, x4= 0.703.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.14.

Рис.4.14.

) • рабочая частота - f = 40 ГГц;

• толщины нанослоев: ∆1=0.4 мкм, ∆2=0.6 мкм, ∆3=0.3 мкм, ∆4=0.48 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.15.

Рис.4.15.

При отклонении параметров:

• толщины нанослоев: ∆1=0.42 мкм, ∆2=0.63 мкм, ∆3=0.315 мкм, ∆4=0.5 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.16.

Рис.4.16.

• толщины нанослоев: ∆1=0.38 мкм, ∆2=0.57 мкм, ∆3=0.285 мкм, ∆4=0.46 мкм;

• концентрация бария: x1= 0.5, x2= 0.4, x3= 0.6, x4= 0.7.

Зависимость постоянной распространения от температуры при двух значениях напряженности электрического поля показана на рис.4.17.

Рис.4.17.

Из графиков видно, что при 10% отклонении в процессе изготовления толщины пленки от заданного значения отклонение значения постоянной распространения γ от рассчитанного незначительно. А 1% разброс значения концентрации бария практически не изменяет значения γ.

Заключение

Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем:

. Разработан метод расчёта постоянной распространения электромагнитной волны в планарных слоистых диэлектрических структурах, образованных тонкими электродами, расположенными на поверхности СЭП.

. На основе модели температурной и полевой зависимости диэлектрической проницаемости сегнетоэлектриков типа твердого раствора BaxSr1-xTiO3, выполнен численный анализ свойств планарных структур на основе многослойной нанокомпозитной СЭП.

. Обоснована возможность расширения температурного интервала для планарных структур на основе СЭП до значений ± 40 0С относительно рабочей температуры при сохранении значений постоянной распространения в интервале единиц процентов.

. Выполнен анализ ёмкости планарных структур с управляющими электродами.

Список использованной литературы

1.      Сегнетоэлектрические пленки и устройства на сверх- и крайне высоких частотах. Иванов А.А., Карманенко С.Ф., Мироненко И.Г., Назаров И.А., Семенов А.А. СПб.: ООО "Техномедиа"/ изд-во "Элмор", 2007. - 162с.

.        Сегнетоэлектрики и родственные им материалы. М. Лайнс, А. Гласс. М.: изд-во "Мир", 1981. - 736с.

.        Техническая электродинамика. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Под ред. Ю.В. Пименова: Учеб. пособие для вузов. - М.: Радио и связь, 2000. - 536с.: ил.

.        Физика: Проблемы. История. Люди: Сб. статей /Сост.: В.М. Тушкевич, Ред. колл.: В.Я. Френкель (пред.) и др. - М.: Наука, 1986.

.        Сегнетоэлектрики и ферромагнетики .Сб. статей /Сост.: П.П. Пугачевич Калинин, 1973.