Дипломная (вкр): Исследование свойств многослойных нанокомпозитных сегнетоэлектрических пленок в диапазоне СВЧ

Уравнения Максвелла сводятся к уравнениям Гельмгольца относительно  и в каждой области поперечного сечения.

Представим его в виде

, (4.1)

где: ; ; -относительная диэлектрическая проницаемость соответствующей области.

Первая область поперечного сечения образована из N нанослоев. Толщина i-го нанослоя равна ∆i , где i - номер нанослоя, начиная с нижнего. Обозначим - координату верхней границы i - го нанослоя. Тогда

 - координата верхней границы первого нанослоя.

, , .

Уравнения (4.1) должны быть дополнены граничными условиями

, - на горизонтальных стенках,

, - на вертикальных стенках.

На диэлектрических границах областей должны быть выполнены условия

 (4.2)

В этих соотношениях - номер области поперечного сечения. Решения уравнения (4.1) в каждой области поперечного сечения и нанослоя с учетом граничных условий на металлических стенках имеют одинаковый вид

, (4.3)

где:- для каждой области сечения; - координата нижней границы каждой области и нанослоя. В пределах нанослоя в силу малой толщины изменения  и  по координате y можно считать линейным.

Запишем на основании (4.3) потенциалы в соответствующих областях поперечного сечения.

В области над щелью (, где )

 (4.4)

В нанослоях первой области ()

Исходя из того, что  порядка 0.1 мкм перепишем

 (4.5)

где: ; - диэлектрическая проницаемость i-го нанослоя.

В области

 (4.6)

В нижней области , где

 (4.7)

Условия непрерывности на границах областей и нанослоев (4.2) приводят к связи произвольных коэффициентов ,,…,в соотношениях 4.4 ÷ 4.7.

При y= - d2 из (4.2), (4.6) и (4.7) найдем

Запишем систему в матричном виде

, (4.8)

где матрица имеет вид

На границе первого нанослоя и диэлектрической области (y=0) условия сшивания (4.2) приводят к соотношениям

,

откуда находим

Перепишем эти соотношения в матричном виде

, (4.9)

где матрица имеет вид

,

где: ; ; ;

; ;;

; .

На границе k-го и (k+1)-го нанослоя условия сшивания полей приведут к соотношениям

,

отсюда находим

,

Перепишем эти соотношения в матричном виде

, (4.10)

где матрица  имеет вид

,

где: , , , .

Граница между верхней областью и N-ым нанослоем первой области

(y=d1) имеет смешанный характер граничных условий. На металлизированной части границы касательные составляющие электрического поля равны нулю, а на ширине щели они непрерывны. Очевидно, что на ширине щели непрерывны и касательные составляющие магнитного поля.

Соотношения между векторными потенциалами и составляющими поля следуют из уравнений Максвелла. В каждой области поперечного сечения и нанослое выполняются соотношения

 (4.11)

 (4.12)

 (4.13)

 (4.14)

Из этих соотношений следует, что условия непрерывности и  составляющих на ширине щели одинаковы с условиями непрерывности  и  составляющими. Поэтому можно выбирать произвольную пару для выполнения условий непрерывности. Выберем в качестве такой пары непрерывность  и . Таким образом при y=d1 должны быть выполнены условия

 и .

Подставим соотношения (4.4)

Найдем и

Перепишем эти соотношения в матричном виде

, (4.15)

где матрица  имеет вид

С другой стороны, результирующее касательное электрическое поле на щели должно удовлетворять условию

В этих соотношениях представлены касательные составляющие полей в верхней области и в нанослое, расположенном под щелью.

.

Выберем

Подставив соотношения (4.11) и (4.12), получим

Подставив соотношения (2.4), получим

Выполним преобразование Фурье

 (4.16)

 (4.17)

Тогда выражения (4.16) и (4.17) перепишутся в виде

Обозначим

 ,

где

тогда

Получили систему

Определитель системы равен

где

Система невырожденная. Найдем решение этой системы по формуле Крамера

 (4.18)

Перейдем к выполнению граничных условий непрерывности касательных составляющих магнитного поля щелевой линии на свободном участке границы между нулевой и первой областями.

По формулам (4.13) и (4.14)

Подставив сюда соотношения (4.4) и (4.5) при y=d1, получим

 (4.19)

Перепишем (4.19) в виде

 (4.20)

Подставим в (4.20) коэффициенты  и  выраженные через  и  из соотношений (4.8), (4.9), (4.10) и (4.15). Получим систему уравнений вида

 (4.21)

(подробный алгоритм вычисления ,,,,, приведен в шестом пункте данной пояснительной записки).

В системе уравнений (4.21) неизвестны распределения полей  и на свободной от металла поверхности первой области. Но так как неизвестные распределения f(x) и g(x) входят в Fn и Gn под интегралами, то система уравнений (4.21) представляет собой парные интегральные уравнения. Их можно решить методом Галеркина.

Как известно, эффективность вычислительной процедуры определяется скоростью сходимости. В методе Галеркина она определяется выбором системы аппроксимирующих функций для токов на электродах или выбором полей на щелях. Аппроксимирующие функции на линии сшивания должны учитывать особенности поведения поля на краях тонких (бесконечно тонких) металлических электродов.

Обратимся к граничным условиям на остром ребре. Наличие края электрода приводит к неоднозначности решения уравнений Максвелла. Для обеспечения единственности решения вводят дополнительное физическое ограничение на поведение поля. Оно заключается в требовании конечности энергии электромагнитного поля, запасенного в любом конечном объеме окрестности ребра. Из этого условия следует, что в окрестности ребра ни одна составляющая электромагнитного поля  не может возрастать быстрее, чем  при  (где τ>0, а  - расстояние до ребра). Поэтому  Исходя из того, что диэлектрическая проницаемость первой области примерно в 1000 раз больше диэлектрической проницаемости нулевой области, можем утверждать, что нормальная составляющая электрического поля на границе y=d1 практически равна нулю. Переходим к структуре, изображенной на рис.3.10.

Рис.4.3.

Введем вектора Герца и

Уравнение Гельмгольца для и  в полярной системе координат имеет вид