Материал: Изучение фотонных кристаллов (120

пример шары. Такой кристалл характеризуется диэлектрической проницаемостью ε1 вне и ε2 внутри шаров, векторами решетки и радиусом шаров. Во втором случае узлы решетки диэлектрика с проницаемостью ε1 связаны друг с другом цилиндрическими колоннами (рис. 2, а) с диэлектрической проницаемостью ε2. С небольшими поправками эта классификация применима и к двумерным фотонным кристаллам. Вследствие периодичности фотонного кристалла собственные электромагнитные состояния в нем являются блоховскими волнами, для описания которых применимы такие понятия, как квазиимпульс, закон дисперсии, обратное пространство, зоны Бриллюэна и т. д.

аб

Рис. 2. Два вида структуры фотонного кристалла:

а — глобулярная; б — цилиндрическая

Имея в виду структуры фотонных кристаллов, изображенные на рис. 2, проиллюстрируем образование фотонной зонной структуры в выделенном направлении внутри кристалла. Обратимся к рис. 3, который соответствует приближению почти свободных фотонов. В нулевом приближении рассмотрим свободные фотоны в квазиоднородной среде с диэлектрической проницаемостью ε. Они имеют закон дисперсии, соответствующий сплошной прямой линии на рис. 3:

Здесь ω — круговая частота электромагнитной волны; с — скорость света в вакууме; Q — волновой вектор; ω(Q) = ω(–Q).

6

Введение модуляции диэлектрической проницаемости с периодом d приводит к появлению зоны Бриллюэна, имеющей характерный размер π/d. На краях зоны Бриллюэна закон дисперсии фотонов отклоняется от (1), как показано на рис. 3, и мало отличается от диаграммы, описывающей возникновение запрещенных зон в приближении почти свободных электронов.

Рис. 3. Закон дисперсии фотонов в периодической структуре

Однако на самом деле в дисперсии блоховских фотонов и электронов имеются принципиальные различия:

•закон дисперсии свободных фотонов (1) является линейным,

азакон дисперсии свободных нерялятивистских электронов — параболическим:

ω(Q) = =2Q2 , 2m*

где ħ — постоянная Планка; m* — эффективная масса электрона в кристалле;

• характерный размер зоны Бриллюэна фотонного кристалла π/d намного меньше размера зоны Бриллюэна электронов в полу-

7

проводниках, поскольку период решетки фотонного кристалла d ≈ с/ω для видимой области спектра более чем в 103 раз превышает постоянную атомной решетки.

Нетрудно определить характерные точки на дисперсионной кривой блоховских электромагнитных волн, показанной справа на

рис. 3. В длинноволновом пределе, т. е. при d Qcω, длина волны

света λ = с/ω по определению больше, чем любой масштаб модуляции диэлектрической проницаемости. Для такой волны среда квазиоднородна, причем ее эффективная диэлектрическая проницаемость соответствует нулевому волновому вектору (Q → 0).

Как следствие, для предельно длинных электромагнитных волн в бесконечном фотонном кристалле с диэлектрической проницаемостью

где f — относительная доля объема, занимаемого средой с проницаемостью ε1 (ср. с рис. 2), справедлив закон дисперсии (1). В приближении почти свободных фотонов, когда разность │ε1 – ε2│ мала, выражение (1) можно экстраполировать в области длин волн, где Qd ≈1. Тогда круговую частоту фотонов

соответствующую центру первой запрещенной зоны, можно получить как точку пересечения графика закона дисперсии Q =ω ε / c

из (1) с границей Q1 = π/d главной зоны Бриллюэна (см. рис. 3). При этом для длины волны света в фотонном кристалле получаем выражение

описывающее условие брэгговского рассеяния фотонов на решетке с периодом d.

На рис. 3 видно, что на краях последующих зон Бриллюэна Qn = nπ/d также образуются запрещенные зоны спектра с центрами

8

на частотах ωn = dnπcε . Запрещенную зону для выделенного на-

правленияGв кристалле, которое можно задать вектором обратной решетки b , обычно называют стоп-зоной (stop-band). Очевидно, что стоп-зоны отсутствуют при условии ε1 = ε2, могут возникать при условии ε1 ≠ ε2, а их ширина должна расти с увеличением разности │ε1 – ε2│.

Хорошо известно, что каждый вектор b перпендикулярен некоторому множествуG плоскостей прямой решетки, а его абсолют-

ная величина │b │ обратно пропорциональна расстоянию между этими плоскостями. К чему это приводит, видно на рис. 3 слева, где дисперсионные ветви, соответствующие двум разным направлениям в пространстве (условно говоря, направлениям к точкам L и X зоны Бриллюэна), приведены к одной оси квазиволнового век-

тора. Поскольку разным векторам b соответствуют различные межплоскостные расстояния в прямой решетке, при заданном законе дисперсии (1) положение и ширина стоп-зон могут существенно зависеть от направления.

Очевидно, что наличие стоп-зон является необходимым, но не достаточным условием существования полной запрещенной зоны. Последняя может возникнуть, если только стоп-зоны для всех без исключения направлений в кристалле перекрываются, при этом ширина запрещенной зоны равна ширине спектральной области перекрытия всех стоп-зон.

Зонная теория фотонных кристаллов имеет отличия от электронной зонной теории. Самое важное из этих отличий состоит в том, что при решении векторной электромагнитной задачи необходимо учитывать ограничения в образовании запрещенных зон, а именно: фотонная запрещенная зона образуется не во всех типах кристаллических решеток, но ее существование возможно в гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке. Поскольку зона Бриллюэна ГЦК структуры наиболее близка к сферической (так как эта структура имеет наиболее плотную упаковку), в ней повышается вероятность перекрытия стоп-зон для всех направлений в кристалле. Это относится и к решетке алмаза, которая представляет собой комбинацию двух ГЦК-решеток, вдвинутых одна в другую.

9

Из анализа рис. 3 можно получить формулы для энергии ширины запрещенной зоны W и энергии ее середины W . Предполагая, что закон дисперсии для первой фотонной зоны Бриллюэна имеет обычную для идеальной кристаллической решетки форму

где =ω0 = 2=εcd — минимальная энергия, соответствующая грани-

це первой зоны Бриллюэна.

Определим значение ω0. Рассмотрим длинноволновый предел

Вывод формул (6) – (8) основан на предположении об идеальности фотонного кристалла, т. е. об отсутствии дефектов как в структуре незаполненного фотонного кристалла, так и в заполнении пор. Для реального фотонного кристалла полученные формулы есть первое приближение, и они тем более точны, чем ближе кристалл к идеальному.

Формулы (6) –(8) применяются в экспериментальной части лабораторной работы. Следует иметь в виду указанное выше ограничение применимости формул. Другое ограничение связано с использованием показателя преломления с учетом пористости согласно формуле (2), т. е. эффективного показателя преломления.

10