Материал: Камартина Н. М. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть 2. Статистика

В случае когда параметры генерального распределения неизвестны, их оценивание производится по той же выборке, что уменьшает число степеней свободы статистики хи-квадрат.

Критерий Пирсона является правосторонним, его критической областью будет промежуток 12 r , , где 12 r – квантиль порядка 1 – α

распределения хи-квадрат с r = k – l – 1 степенями свободы. Число l зависит от ситуации. Оно представляет собой число параметров распределения генеральной совокупности, оцениваемых по выборке. Критические значения критерия представлены в таблице с двумя входами (приложение, табл. П4).

Статистический вывод формируется на основе сравнения двух значений статистики Пирсона – наблюдаемого и теоретического.

чае отвергается.

ПОНЯТИЕ О КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ

При решении многих задач экономики бывает необходимо изучать зависимость наблюдаемой случайной величины Y от одной или нескольких других случайных величин X1, X2, ..., Xk . Случайная величина Y называется откликом, а величины X1, X2, ..., Xk – факторами. Общий тезис о наличии зависимости в математике формулируется в виде функционального

факторами и откликом быть не может в силу их случайности.

Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы на основании полученной выборки выявить характер связи между фактором X и откликом Y, т. е. получить оценку регрессии Y на X. Эта оценка представляет собой статистику и зависит от неизвестных параметров. Поэтому ее можно записать как функцию y x,a0,a1,...,am , где a0,a1,...,am – неизвестные

параметры.

Для определения типа зависимости сначала строится диаграмма рассеивания. При этом результаты измерений изображаются точками на координатной плоскости. Геометрически задача подбора аналитической функции состоит в проведении такой кривой (ее называют «линия регрессии»), которая возможно «ближе» примыкает к системе точек xi , yi ,

16

полученных в результате n реализаций случайных величин X и Y. Значения параметров определяются для выбранного типа линии так, чтобы функция y x,a0,a1,...,am наилучшим образом соответствовала неизвестной рег-

рессии. Простейшим случаем является линейная регрессия. Она описывается уравнением вида y 0 1x. Коэффициенты этого уравнения будут

статистиками. Для их определения используется метод наименьших квадратов. В расчетах линейной модели используются формулы

играет отдельную роль в анализе взаимосвязи признаков. Он называется

выборочным коэффициентом корреляции. Тесноту корреляционной свя-

зи с его помощью оценивают по эмпирическому правилу (шкала Чеддока, табл. 1).

Рассмотрим простейший пример построения прямой регрессии. Имеются 10 экспериментальных точек – значений десяти измерений двух признаков.

Требуется построить уравнение прямой регрессии «игрек» на «икс» и провести его статистический анализ.

Расчеты оформим таблицей.

17

Уравнение линейной регрессии Y на X имеет следующий вид: y = 3,26 + 1,12 x.

На рис. 1 приведены эмпирические и теоретические значения.

Рис. 1. Графики эмпирической и теоретической регрессии

Проверку адекватности полученной модели проводят с помощью F- теста. Для этого используется критерий Фишера.

18

Статистика критерия Фишера рассчитывается по формуле

i 1

Здесь k – число параметров, оцениваемых по выборке. В нашем случае k = 2, потому что в уравнении линейной регрессии было два неизвестных коэффициента.

Теоретическое значение критерия выбирается из табл. П5 приложения:

1 k 1; 2 n k . Модель считается адекватной при уровне значимости α = 0,05, если Fp Fт .

Для нашего примера Fp = 269,76; v1 = 1; v2 = 8, соответствующее значение Fm = 5,32. Очевидно, модель линейной регрессии можно считать адекватной.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Дана выборка объемом 150. Сгруппируем выборку и запишем ряды абсолютных и относительных частот. Для этого вычислим размах выборки: R = xmax – xmin = 53,62 – 25,52 = 28,1. Выберем число интервалов по формуле Стэрджесса: k 1 3,32lg150 8 , тогда длина одного интервала:

h Rk 3,5125 .

Группируем полученные данные и подсчитываем число элементов выборки, попавших в каждый интервал, при этом элемент, совпавший с верхней границей интервала группировки, относим к последующему интервалу. Результаты запишем в табл. 2.

19

Контроль: сумма абсолютных частот по всем интервалам группировки равна объему выборки 150.

Представим выборку графически. Для это нужно построить два графика:

1)полигон абсолютных частот – ломаную линию с вершинами в точках с координатами xi ,mi . За xi примем середины интервалов;

2)ненормированную гистограмму. Для этого на оси абсцисс отложим промежутки, а на оси ординат – частоты.

Оформление произвольное. Графики приведены во второй части примера, для их построения использован Excel.

Найдем характеристики вариации. Для этого таблицу можно расширить или сделать новую (табл. 3).

Найдем выборочное среднее по формуле (2): xв 6181,94 41,23 и 150

5340,19

дисперсию по формуле (4): Dв 35,60. Исправленная выбороч-

150

ная дисперсия по формуле (5) равна 35,84. Соответственно исправленное среднее квадратическое отклонение s = 5,99.

Медианный интервал у нашей выборки имеет номер 5. Тогда

по формуле (6) вычислим: Me 39,57 3,510,5 150 56 41,59 . Модаль-

33

ный интервал тоже пятый. Распределение унимодальное, значение моды по формуле (7):

20