Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Учитывая что Δω<< ω, получим

. (4.27)

Так как изменяется значительно медленней, чем cosωt, результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой ω, амплитуда которого медленно

изменяется также по гармоническому закону с частотой . Такие колебания называются биениями (рис.4.7).

Рис.4.7

Уравнение биений имеет вид

(4.28)

Амплитуда колебаний равна , частота пульса- ций амплитуды (биений), равна разности частот складываемых колебаний (см. рис.4.7), а период биений .

4.1.5. Сложение взаимно перпендикулярных

колебаний. Фигуры Лиссажу

Пусть колебания одинаковой частоты совершаются вдоль взаимно перпендикулярных координатных осей X и Y. Выберем начало отсчёта времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Запишем уравнения колебаний таким образом

, (4.29)

, (4.30)

где - разность фаз складываемых колебаний.

Исключив из данных уравнений параметр t, получим уравнение траектории результирующего колебания.

. (4.31)

Уравнение (4.31) представляет собой уравнение эллипса, произвольно ориентированного относительно координатных осей X и Y.

Уравнение (4.36) может быть приведено к стандартному виду, представляющему дифференциальное уравнение затухающих колебаний

, (4.37)

где = r/2m - коэффициент затухания; - собственная частота колебаний системы.

Решение уравнения (4.37) имеет вид

, (4.38)

где - частота затухающих колебаний.

График функции (4.38) показан на рис. 4.10. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по закону

, (4.39)

а период колебаний определяется формулой

. (4.40)

С ростом β период затухающих колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности при критическом коэффициенте затухания . При процесс носит апериодический характер. Выведенная из положения равновесия система возвращается к нему, не совершая колебаний (рис. 4.11).

Рис.4.10 Рис.4.11

Рис. 2.9.

Основные характеристики затухающих колебаний:

1) время релаксации  - время, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

. (4.41)

2) логарифмический декремент затухания, представля- ющий логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е.

, (4.42)

где N - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в e раз.

3) добротность колебательной системы

, (4.43)

где E - энергия системы в момент времени t; -убыль энергии за один период колебаний.

4.1.7. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденные колебания возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы. С учётом вынуждающей силы закон движения пружинного маятника запишется в виде

. (4.44)

После преобразования получим неоднородное дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные колебания:

, (4.45)

где .

Общее решение данного неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

, (4.46) где , а A₀ и - произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения (4.45) имеет вид

, (4.47) где , (4.48)

. (4.49)

Функция (4.47) в сумме с (4.46) даёт общее решение уравнения (4.45), описывающее поведение системы при вынужденных колебаниях. Слагаемое (4.46) играет значитель- ную роль в начальной стадии процесса при установлении колебаний. С течением времени его роль из-за экспонен- циального множителя всё больше уменьшается и им можно пренебречь

. Графически вынужденные колебания представлены на рисунке 4.12.

Рис. 4.12

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой _в и являются гармоническими, амплитуда и фаза которых определяются выражениями (4.48) и (4.49).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некоторой частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой.

Из условия максимума функции (4.48) найдём

, (4.50)

а амплитуда колебаний при резонансе определяется из выражения

. (4.51)

Резонансные кривые при различных значениях коэф- фициента затухания представлены на рисунке 4.13. Чем меньше тем выше и правее лежит резонансный максимум. Если , то все кривые приходят к одному и тому же значению , так называемому статическому отклоне-нию.

β₃> β₂> β₁

Рис. 4.13

Резонансная амплитуда связана с добротностью колебатель- ной системы следующим соотношением

. (4.52)

Таким образом, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем острее и выше резонансная кривая.

4.1.8. Распространение волн в упругих средах. Уравнение бегущей волны

Процесс распространения колебаний в упругой среде, периодический во времени и в пространстве, называется механической волной. Распространение волн не связано с переносом вещества. Частицы среды, в которой распространя- ется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесий. От одних участков среды к другим переносятся только энергия и импульс.

Различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикуляр- ных к направлению распространения волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей упругостью формы, т.е. способностью сопротив- ляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твёрдых телах. Продольные волны связаны с объёмной деформацией среды, поэтому они могут распространяться как в твёрдых телах, так и в жидкостях и в газах. Скорости распространения поперечных и продольных механических волн в твёрдых телах определяются выражениями :

, (4.53)

, (4.54)

где G – модуль сдвига, Е – модуль Юнга, ρ – плотность тела.

В газообразных средах распространяется только продольная волна

, (4.55)

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, μ- молекулярная масса газа.

Волна называется синунусоидальной, если соответ- ствующие ей колебания частиц среды являются гармониче- скими. График зависимости смещения частиц среды , участвующих в волновом процессе, от расстояния x этих частиц до источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени представлен на рисунке 4.14. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны. Длина волны  равна такому расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период, т.е.