Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

. (4.56)

Рис.4.14

Зависимость смещения колеблющейся точки от координат и времени устанавливается уравнением волны.

В случае плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси x, уравнение имеет вид

, (4.57)

где х/υ = τ - время прохождения волной расстояния от источника (х = 0) до частицы с координатой х.

Или в стандартной форме

, (4.58)

где - волновое число.

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается только знаком члена kх.

Уравнение любой волны является решением некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. В общем случае волновое уравнение имеет вид

. (4.59)

4.1.9. Стоячие волны

Стоячие волны образуются при наложении двух бегущих синусоидальных волн, распространяющихся навстречу друг другу. Практически, стоячие волны возникают при отражении волн от преград.

Пусть уравнения бегущей и отражённой волны имеют вид:

.

Сложив эти уравнения, получим уравнение стоячей волны

, (4.60)

Из (4.60) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с частотой , т.е. с частотой бегущих волн и амплитудой

, (4.61)

являющейся периодической функцией координаты х.

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны достигает максимального значения, называются пучностями стоячей волны.

Значения координат пучностей

, (m =1,2,3...). (4.62)

Точки среды, в которых амплитуда стоячей волны обращается в ноль, называются узлами стоячей волны. Координаты узлов определяются соотношением

. (4.63)

Расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно

, (4.64)

и называется длиной стоячей волны.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, но с одинаковы- ми фазами (синфазно). Точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Графическое изображение стоячей волны представлено на рисунке 4.15.

Рис.4.15

В стоячей волне отсутствует перенос энергии, так как образующие эту волну падающие и отражённые волны перено- сят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях. Полная энергия колебаний каждого элемента объёма среды, ограниченного соседним узлом и пучностью, не зависит от времени, она лишь периодически переходит из кинетической энергии, сосредоточенной вблизи пучностей, в потенциальную - вблизи узлов волны, где деформация среды достигает максимальных значений.

4.2. Электромагнитные колебания и волны

4.2.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Простейший колебательный контур состоит из конденсатора электроёмкостью С и соединённой с ним последовательно катушки индуктивности L (рис.4.16). При замыкании на катушку предварительно заряженного конденсатора в контуре возникнут электромагнитные колебания. Конденсатор начи-

нает разряжаться, в катушке появляется нарастающий ток, создающий магнитное поле. Изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению ЭДС самоиндукции, которая сначала замедляет скорость разрядки, а после того как конденсатор разрядился, начинает поддер- живать ток в прежнем направле- нии. В результате происходит перезарядка конденсатора. Затем процесс разрядки начнётся снова, но в обратном направлении и т.д.

Дифференциальное уравнение, описывающее собствен- ные колебания в контуре, можно получить на основе закона Ома для неоднородного участка цепи:

IR = φ₁ – φ₂ + ε₁₂, (4.65)

где φ₁ и φ₂ - значения потенциалов на обкладках конденсатора;  - ЭДС самоиндукции, возникающая в контуре.

С учётом того, что R=0 , ; и

, уравнение (4.65) принимает вид

, . (4.66)

После замены получим стандартное дифферен- циальное уравнение, описывающее собственные гармони- ческие колебания

. (4.67)

Собственная частота и период гармонических колебаний удовлетворяют формуле Томсона

_{. (4.68)}

_{Заряд конденсатора q, напряжение на обкладках конденсатора U и сила тока в катушке изменяются по законам}

, (4.69)

, (4.70)

. (4.71)

где - амплитуда напряжения, - амплитуда силы тока.

При собственных колебаниях в контуре происходит периодическое преобразование энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и наоборот. Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени

. (4.72)

4.2.2. Затухающие колебания и их характеристики

Реальный колебательный контур всегда обладает активным сопротивлением R . Вследствие этого часть энергии электромагнитных колебаний превращается в тепло, а амплитуда колебаний постепенно уменьшается.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний на основании(4.65) и с учётом, что , , , принимает вид

. (4.73)

После замены

(4.74)

получим стандартное дифференциальное уравнение, описы- вающее затухающие колебания

. (4.75)

Здесь – коэффициент затухания, ω₀ – собственная частота свободных незатухающих колебаний (т.е. при R=0).

Решение дифференциального уравнения (4.75) имеет вид

, (4.76)

г

- частота затухающих колебаний в реальном контуре.

График затухающих колебаний представлен на рис.4.17. Амплитуда колебаний в этом случае изменяется по экспо- ненциальному закону

, (4.78)

а период колебаний определяется выражением

. (4.79)

С увеличением R, а следовательно, и β, период затухающих колебаний растёт, стремясь к бесконечности при

. (4.80)

Это означает, что при колебательный разряд переходит в апериодический процесс (рис.4.18). Значение R_кр называется критическим сопротивлением.

Важнейшей характеристикой контура является его добротность. При малых значениях логарифмического декремента затухания, добротность контура определяется выражением: