Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Тогда максимальная кинетическая энергия электронов должна определяться амплитудой электрического поля, (интенсивностью излучения), и красной границы фотоэффекта быть не должно. Кроме этого, для «раскачки» электронов периодическим полем необходимо некоторое время, т.е. фотоэффект должен обладать инерцией. Таким образом, с позиций классической физики законы фотоэффекта должны иметь другой вид.

Правильное объяснение закономерностей фотоэф- фекта было получено в 1905 г. Эйнштейном на основе предположения, что свет поглощается такими же порциями, как и испускается. При взаимодействии фотона с электроном фотон исчезает, передавая электрону всю свою энергию. Часть этой энергии электрон затрачивает на совершение работы выхода из металла А, оставшаяся часть идет на кинетическую энергию фотоэлектрона. Таким образом, для этого процесса можно записать закон сохранения энергии

. (6.14)

Это соотношение называется формулой Эйнштейна для фотоэффекта. Из нее сразу следуют экспериментально установленные законы: пропорциональность кинетической энергии частоте и наличие красной границы фотоэффекта (h  A, _кр = A / h). Для объяснения первого закона следует учесть, что фототок насыщения пропорционален числу фотоэлектронов, которое, в свою очередь, пропорционально числу фотонов, а это число определяет световой поток, падающий на катод.

Приведенное рассмотрение относится к так называемому однофотонному фотоэффекту: электрон взаимо- действует с одним фотоном. С появлением мощных источников света, в частности лазеров, был обнаружен многофотонный фотоэффект, при котором электрон взаимо- действует с несколькими (N) фотонами и получает от них энергию. Для этого случая уравнение Эйнштейна имеет вид

. (6.15)

Соответственно в N раз уменьшается частота красной границы фотоэффекта.

6.4. Масса и импульс фотона. Давление света

Согласно гипотезе Эйнштейна свет испускается и поглощается в виде отдельных порций энергии - фотонов, которые можно рассматривать как частицы. Помимо энергии, фотон обладает и другими характеристиками, свойственными частице – массой и импульсом.

Массу фотона можно определить из закона пропор- циональности массы и энергии, установленного Эйнштейном

. (6.16)

Зная массу и скорость, определяем импульс:

. (6.17)

Таким образом, все корпускулярные характеристики фотона связаны с волновой характеристикой излучения - его частотой (длиной волны).

Корпускулярные свойства света позволяют достаточно просто объяснить световое давление как результат передачи импульса фотона отражающей или поглощающей поверх- ности. Пусть на поверхность с коэффициентом отражения  падает нормально монохроматический свет частоты . Давление равно суммарному импульсу, переданному единице площади поверхности в единицу времени:

. (6.18)

Если за единицу времени на единицу площади поверхности падает N фотонов, то из них N отражается и (1-)N поглощается. Каждый отраженный фотон передает поверхности импульс 2P_ф, поглощенный - P_ф. Тогда давление света равно:

.

Учитывая, что E = N h – есть энергия всех фотонов, а  = E/c – объемная плотность энергии излучения, получим

. (6.19)

Эта формула совпадает с выражением, полученным на основе электромагнитной теории света, т.е. световое давление одинаково успешно объясняется и волновой и квантовой теорией.

6.5. Эффект Комптона

В 1923 г. американский физик Комптон исследовал рассеяние монохроматического рентгеновского излучения легкими веществами (графит, парафин, бор и др.). Было установлено, что в рассеянном излучении, помимо исходного, присутствует излучение с большей длиной волны, причем длина волны растет с увеличением угла рассеяния. Это противоречит волновым представлениям о природе света: с позиций электромагнитной теории - при рассеянии на веществе длина волны не должна изменяться.

Эффект Комптона объясняется на основе квантовых представлений о взаимодействии фотонов с электронами. Один из видов такого взаимодействия рассматривался при обсуждении явления фотоэффекта: фотон исчезает, отдавая свою энергию электрону. При этом следует учитывать, что электрон в металле является связанным с другими электронами и ионами кристаллической решетки.

При взаимодействии фотона со свободным электроном может произойти только процесс рассеяния, в результате которого появится новый фотон, летящий под углом  к направлению движения первоначального фотона (рис.6.4) Законы сохранения следует записывать с учетом релятивистских эффектов в виде:

. (6.20)

Здесь P_ф ,  и P’_ф , ' – импульс и частота фотона соответственно до взаимодействия и после.

Решение этих уравнений приводит к следующему выражению, определяющему изменение длины волны излучения при рассеянии на свободных электронах:

 = ^’ -  = (h/m₀c)(1 – cos) = _к(1 – cos), (6.21)

где _к = h / m₀ c = 2,43 пм – комптоновская длина волны,  - угол рассеяния фотонов.

Полученная формула соответствует экспериментально установленной зависимости длины волны рассеянного излучения от угла рассеяния. Рассеяние света на тяжёлых веществах происходит без изменения длины волны. Это объясняется взаимодействием фотонов с сильно связанными электронами: фотон упруго взаимодействует со всем атомом, масса которого гораздо больше, поэтому практически не передает ему энергии.

6.6. Примеры решения задач по квантовой оптике

Пример 1. Железный шар диаметром d = 0,1 м, нагретый до температуры Т₁=1500К, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до Т₂ = 1000 К? При расчете принять, что шар излучает как серое тело с коэффициентом излучения  = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Решение

Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на малую величину dT, равно

dQ = c m dT, (1)

где c – удельная теплопроводность железа; m – масса шара.

Учитывая, что

m =  V= 4/3   r³, (2)

где r – радиус шара;  - плотность железа, получаем

dQ= 4/3  r³ c dT, (3)

С другой стороны, количество теплоты, теряемое шаром вследствие излучения, можно найти, используя закон Стефана-Больцмана:

dQ=   T⁴ S dt =   T⁴ 4  r² dt, (4)

где dt – время излучения, соответствующее понижению температуры на dT. Приравнивая правые части равенств (3) и (4), получаем

. (5)

Проинтегрировав это выражение, найдем

t= c r(1/T₂³ – 1/T₁³)/ 3. (6)

После подстановки числовых значений получим t = 500 с.

Пример 2. Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности энергети- ческой светимости сместился с длины волны ₁ = 2,4 мкм на ₂ = 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

Решение

Зная длины волн, на которые приходятся максимумы лучеиспускательной способности тела, и, используя закон смещения Вина, находим начальную и конечную температуры тела

T

Энергетическая светимость черного тела определяется согласно закону Стефана-Больцмана

R^*=  T⁴ ,

следовательно, R₁^*/ R₂^* = (T₂/T₁)⁴ = (₁/₂)⁴ .

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости определяется по второму закону Вина

r^*_{ Tmax} = c T⁵ .

Тогда r^*_2max/ r^*_1max = (T₂/T₁)⁵ = (₁/₂)⁵ .

Подставляя числовые значения, получаем

R₂*/R₁* = 81;

r^*_2max/ r^*_1max = 243.

Пример 3. Красная граница фотоэффекта у рубидия равна ₀ =0,8мкм. Определить максимальную скорость фото- электронов при облучении рубидия монохроматическим светом с длиной волны  = 0,4 мкм. Какую задерживающую разность потенциалов нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратился ток?

Решение

Энергия фотона вычисляется по формуле  =hc/ и составляет для  = 0,4 мкм  = 3,1 эВ. Эта величина значительно меньше энергии покоя электрона, поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона может быть выражена классической формулой T_max= ½ mV_max². Выразив работу выхода через красную границу фотоэффекта, на основании уравнения Эйнштейна получим

T_max= ½ m V_max² = h c/  - h c/ ₀ .

Откуда

V_max= (2 h c(₀ - )/(m ₀ ))^1/2 .

Подставив числовые значения, найдем V_max= 0,7410⁸ м/с.

При U<0 внешнее поле между катодом и анодом фотоэлемента тормозит движение электронов. Задерживающая разность потенциалов Uз, при которой сила тока обращается в нуль, определится из уравнения e U_з =m V_max² /2.

Следовательно, U_з= hc(1/ - 1/₀) /e = 1,58 В.

Пример 4. Уединенный медный шарик облучают ультра- фиолетовыми излучением с длиной волны  = 165 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик?