Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

7.4. Движение свободной частицы

При движении свободной частицы (U = 0) ее полная энергия совпадает с кинетической. Для частицы, движущейся вдоль оси Х, стационарное уравнение Шредингера принимает вид

(7.9)

Решением его является функция

, (7.10)

где k =(1/ħ) = P_x/ ħ, P_x – импульс частицы, A =const. Тогда полную волновую функцию можно записать в виде

, (7.11)

что представляет собой плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси Х. Учитывая, что k =2/, для длины волны получаем  =h/P, что совпадает с формулой де Бройля. Таким образом, решение уравнения Шредингера для свободной частицы представляет собой волну де Бройля. Волны де Бройля по физическому смыслу совпадают с волновой функцией и имеют статистическую интерпретацию: их интенсивность пропорциональна плотности вероятности обнаружения частицы.

Энергия свободной частицы E = ħ²k²/(2m) может принимать любые значения, т.е. энергетический спектр её является непрерывным. Вероятность обнаружения частицы не

зависит от времени и одинакова в любой точке пространства .

7.5. Частица в потенциальной яме

Рассмотрим движение микрочастицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме длиной l с бесконечно высокими стенками (рис.7.1). Тогда для потенциальной энергии имеем: U = 0 при 0  x  l и U = ∞ при x < 0 и x > l. Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид

,

или , (7.12)

где k² = 2mE/ ħ².

Решение уравнения записы- вается в виде

Ψ(x)=Asin(kx)+Bcos(kx), (7.13)

где A и B – постоянные, которые определяются из граничных условий.

Вероятность нахождения частицы вне ямы равна нулю, следовательно, волновая функция вне ямы и на ее границах (в силу непрерывности) также равна 0:

Ψ(0)=Ψ(l)=0.

Из первого условия Ψ(0)= B получаем B = 0, из второго

Ψ(l)= A sin(k l)= 0

следует, что k l = n или k = n / l, где n = 1, 2, 3 … (n = 0 соответствует Ψ = 0, т.е. отсутствию частицы в яме).

Тогда для собственных значений энергии получаем выражение

, (n = 1, 2, 3 …). (7.14)

Таким образом, энергия и импульс частицы в потенциальной яме могут принимать лишь определенные, дискретные значения, т.е. квантуются (рис.7.1). Минимальное значение энергии равно E =  ²ħ²/(2ml²), т.е. частица в яме не может покоиться, что находится в соответствии с соотношениями неопределенности.

Интервал энергии между соседними уровнями составляет

.

Рассмотрим несколько примеров. Для молекул идеального газа (m = 10^-26кг, l = 0,1м) E_n = 10^-20n эВ, для свободных электронов в металле (m10^-30кг, l=0,1м) E_n=10 ^-16n эВ, т.е. в этих случаях можно считать, что энергия меняется непрерывно. Для электрона в атоме (m10^-30кг, l=10^-10м) E_n=10²n эВ. Следовательно, здесь квантование существенно и можно говорить лишь о дискретном спектре энергии.

Относительное расстояние между уровнями E_n/E_n  2/n уменьшается с увеличением квантового числа n, уровни располагаются ближе и спектр энергии становится квазинепрерывным.

В этом выражается принцип соответствия Бора: при больших квантовых числах выводы и результаты квантовой механики должны соответствовать классическим результатам.

Для определения постоянной A в волновой функции используем условие нормировки:

,

откуда .

Таким образом, собственные функции выражаются формулой

, n = 1, 2, 3… (7.15)

Графики собственных функций и соответствующие плотности вероятности приведены на рис.7.2.

Из рисунка видно, что в разных квантовых состояниях есть точки, в которых плотность вероятности обнаружения частицы равна нулю. Такое поведение частицы несовместимо с классическими представлениями о траектории движения и равновероятности всех положений частицы.

a) в)

Рис.7.2

Из формулы 7.15 и рис. 7.2 следует, что существуют лишь такие состояния частицы в потенциальной яме, при которых на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля. Здесь можно провести аналогию с механическими волнами. Для колеблющейся струны или закрытого акустического резонатора возникающие стоячие волны удовлетворяют такому же условию, все остальные волны существовать не могут, они затухают.

7.6. Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер

Пусть микрочастица движется вдоль оси X на которой находится прямоугольной формы потенциальный барьер шириной l и высотой U (рис.7.3).

При данных условиях классическая частица либо беспрепятственно пройдёт над барьером при Е>U, либо отразится от него при E<U, и будет двигаться в противоположную сторону.

Для микрочастицы даже при энергии E<U, имеется отличная от нуля вероятность того, что частица окажется в области x>l, т.е. проникнет сквозь барьер. Это явление получило название туннельного эффекта.

Для описания туннельного эффекта используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера, определяемого как отношение плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих.

, (7.16)

где А₁ и А₃ амплитуды падающей и прошедшей волн де Бройля.

Для прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности определяется из выражения

, (7.17)

где D₀ – постоянный множитель, который можно принять равным единице.

Коэффициент прозрачности D сильно зависит от массы частицы m, ширины барьера l и от ; чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него барьера.

Туннельный эффект - это специфическое квантовое явление, не имеющее аналога в классической физике. С классической точки зрения частица, находящаяся внутри потенциального барьера при Е < U, должна иметь отрицательную кинетическую энергию. С точки зрения квантовой механики деление энергии на кинетическую и потенциальную бессмысленно, поэтому ничего парадоксального в этом нет.

Туннельный эффект объясняет многие физические явления, такие, как холодная эмиссия электронов из металлов, альфа – распад, спонтанное деление ядер и другие.

7.7. Атом водорода в квантовой механике

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром атома водорода определяется выражением

(7.18)

где r – расстояние между электроном и ядром, e – элементарный заряд.

Графически функция U(r) изображается кривой, представляющей собой гиперболическую потенциальную яму (рис.7.4).

Рассмотрим основные результаты, вытекающие из реше- ния уравнения Шредингера для электрона в атоме водорода.

1. Энергия электрона принимает ряд дискретных значе- ний, т.е. квантуется

(7.19)

где n = 1, 2, 3… - главное квантовое число.

Самый нижний энергети- ческий уровень электрона в атоме водорода называется основным, все остальные – возбужденными (рис.7.4). При этом каждому E_n (кроме E₁) соответствует несколько волно- вых функций, отличающихся величиной и ориентацией момента импульса электрона. Различные состояния с одинако- вой энергией называются вырожденными, а их число – кратностью вырождения.

2. Момент импульса (орбитальный механический момент) электрона и его проекция на направление внешнего магнитного поля квантуется по законам

L = ħ , (7.20)

L_z = ħ m, (7.21)

где l = 0, 1, 2,…,(n-1) – орбитальное квантовое число; m = 0, 1, 2, …, l – магнитное квантовое число.

При данном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l принимает n значений, а при данном l магнитное квантовое число m принимает (2l+1) значение.

Квантование проекции вектора L, получившее назва- ние пространственного квантования, обусловлено дискрет- ностью ориентации момента импульса во внешнем поле. Графически оно представляется в виде векторных диаграмм (рис.7.5).

Рис.7.5

Дополнительно к этому, было установлено, что электрон, помимо орбитального, обладает и собственным механическим моментом импульса, получившим название – спин. Значение спина электрона равно

ħ, (7.22)

а его проекция на направление внешнего поля квантуется

L_sz = ħ m_s , (7.23)

где m_s = 1/2 – спиновое квантовое число.

Наряду с механическими орбитальным и спиновым моментами импульса электрон обладает магнитными орбитальным и спиновым моментами. Величина орбитального магнитного момента и его проекция на направление внешнего

магнитного поля квантуется по тем же законам, что и орбитальный механический момент

p_m = gL = _B , (7.24)

p_m = - _B m, (7.25)

где g = e/2m – гиромагнитное отношение, _B = е ħ/2m – магнетон Бора.

Собственный магнитный момент электрона ориентиру- ется по полю или против поля, при этом

p_msz =  _B . (7.26)

Следовательно, магнетон Бора является как бы естественной единицей магнитного момента электрона.

Состояния электрона в атоме принято обозначать следующим образом:

l = 0  s – состояние,

l = 1  p – состояние,

l = 2  d – состояние,

l = 3  f – состояние.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением числа l. Например, электрон в состоя- нии с n = 2 и l = 1 обозначается 2 p, с n = 3 и l = 0 – 3 s и т.д.

В квантовой механике нельзя говорить о траектории движения электрона в атоме. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. При этом, боровские стационарные орбиты представляют собой геометрическое место точек, в которых с наибольшей вероятностью может быть обнаружен электрон.