Материал: Краткий курс физики. Часть 2. Электромагнетизм, колебания и волны, оптика, квантовая физика, физика ядра. Москаленко А.Г., Гаршина М.Н

Движение электрона по окружности эквивалентно круговому току

.

Зная , найдем магнитный момент эквивалентного тока, который вы­ражается соотношением

,

где S=πR² – площадь, ограниченная окружностью, описываемой элек­троном.

Подставим значения и S в формулу магнитного момента, оконча­тельно получим

Убедимся в том, что правая часть равенства даст единицу измерения магнитного момента (Ам²):

Произведем вычисление:

Пример 6. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10мТл по винтовой линии, радиус которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость υ.

Решение

Разложим скорость электрона на две составляю- щие: параллельную вектору - и перпендикулярную ему .

Скорость в магнитном поле не изменяется и обеспе- чивает переме­щение электрона вдоль силовой линии. Скорость в результате дей­ствия силы Лоренца будет изменяться только по направлению, обес­печивая движение по окружно- сти. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном переме­щении его со скоростью и вращательном со скоростью .

Согласно второму закону Ньютона

Перпендикулярная составляющая скорости будет равна

.

Период обращения электрона связан именно с этой составляю- щей скоростью соотношением

Проверим размерность полученного выражения и произведем вычисление:

Модуль скорости υ, как видно из рисунка, можно выразить через и :

Параллельную составляющую скорости найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой лини расстояние h, т.е. , откуда

Таким образом, модуль скорости электрона

Произведем вычисления:

.

Пример 7. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течёт ток I = 50А, расположена прямоугольная рамка так, что две большие стороны её длиной l = 65см параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно её ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизывающий рамку?

Решение

Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

.

В нашем случае вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки B_n=B. Магнитная индукция B, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

г

dS=ldxx

Для вычисления магнит- ного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также зависеть от х, то

dФ=В(х)dS.

Разобьём площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l, шириной dx и площадью dS=ldx (см. рис.). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площадки равноудалены (на расстояние x) от провода. С учётом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

.

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x₁= a до x₂ = 2a, найдём

.

Подставив пределы, получим

.

Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб):

[μ₀][I][l] = 1Гн/м·1А·1м = 1 Вб.

Произведя вычисления, найдём Ф = 4,5 мкВб.

Пример 8. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 100А, свободно устано- вился в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол 90^˚.

Решение

I

,

где – магнитный момент контура; α – угол между векторами (направлен по направлению положи- тельной нормали к контуру) и .

По условию задачи в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле, т.е. М=0, а значит векторы и сонаправлены (α=0). Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил будет стремиться возвратить контур в исходное положение. В силу зависимости М от угля поворота α, для подсчета работы внешних сил воспользуемся методом интегрирования. Элементарная работа равна

dA= Mdα = IBa²sin α dα.

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте контура на конечный угол :

. (1)

Производя расчет в единицах СИ, получим

А = 100·1·0,1² Дж =1 Дж.

Задачу можно решить и другими способами:

1) Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизывающего контур:

где Ф₁ – магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения, Ф₂ – то же, после перемещения.

Если , то Ф₁=ВS, Ф₂=0. Следовательно,

А = IBS = IBa²,

что совпадает с выражением (1).

2) Воспользуемся выражением для механической потенциальной энергии контура с током в магнитном поле.

Тогда работа внешних сил

А=ΔW_п = W₂ - W₁,

или

Так как р_m= Ia², cosα₁=1 и cosα₂=0, то

A=IBa²,

что также совпадает с выражением (1)

2. Электромагнитная индукция

2.1. Законы электромагнитной индукции

В 1831 г. Фарадей экспериментально открыл явление электромагнитной индукции, состоящее в возникновении электрического тока в замкнутом проводнике при изменении магнитного потока, охватываемого контуром проводника. Возникающий ток назвали индукционным.

Правило, определяющее направление индукционного тока, было сформулировано Ленцем: индукционный ток всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле противодействует изменению магнитного потока, вызвав- шего этот ток.

Появление индукционного тока в проводящем контуре свидетельствует о том, что при изменениях магнитного потока Ф в контуре возникает электродвижущая сила индукции. Фарадей установил, что величина ЭДС не зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока и определяется лишь скоростью его изменения:

(2.1)

Если контур состоит из N витков, то

(2.2)

где Ψ – полный магнитный поток, или потокосцепление.

Выясним причину возникновения электромагнитной индукции. Для этого рассмотрим два случая, в каждом из которых физический механизм явления существенно разный.

1. Подвижный контур в стационарном магнитном поле.

Обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной l, находящемся в однородном магнитном поле, перпендикуляр- ном плоскости контура ( рис.2.1).

Рис.2.1

Приведем перемычку в движение со скоростью υ. С той же скоростью станут перемещаться относительно поля и носители тока в перемычке – электроны. На каждый электрон при этом будет действовать сила Лоренца, равная

. (2.3)

Электроны начнут перемещаться и создадут электриче- ское поле, которое возбудит ток и в остальных участках контура. Если силу F разделить на величину заряда, получим напряженность стороннего поля:

. (2.4)

По определению электродвижущей силы, она равна интегралу от напряженности стороннего электрического поля по замкнутому контуру, т. е. циркуляции вектора E:

,

учитывая, что , а , получим