Материал: Кратные и криволинейные интегралы

46

n

Достаточность.

Если интеграл

сходится,

то

Sn a1 f (x)dx a1 f (x)dx,

поэтому последовательность Sn

1

1

ограничена сверху. Так

как эта последовательность не

убывает, то по теореме Вейерштрасса limn Sn

S . Поэтому ряд an сходится.

n 1

Необходимость. Если ряд

an сходится,

то

limn Sn S ,

а по необходимому

n 1

признаку

сходимости

ряда

an

0

при

n .

Поэтому

последовательность

n

f (x)dx (неубывающая, так как

f (x) 0) ограничена сверху. Следовательно, по теореме

1

n

Вейерштрасса limn f (x)dx f (x)dx, т.е. несобственный интеграл сходится.

1

1

b

1

1

1

dx limb 1

dx limb lnb ln1

-

интеграл

расходится,

поэтому

и

x

x

гармонический ряд расходится.

1

Пример.

Рассмотрим «ряды Дирихле»

. Название

взято в

кавычки,

так

p

т 1 n

1

сходится при p 1

.

p

т 1 n

расходится при p 1

1

Интересно, что

ряд

сходится при q 1и расходится при q 1, интегралы

q

n 1

nln

n

1

1

,

расходятся (проверьте по интегральному признаку).

nlnnlnlnn

n 2

nlnn n 3

47

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть выполнено неравенство an bn

n. Тогда из сходимости ряда

bn следует

n 1

n 1

n 1

n 1

Доказательство. 1) Пусть ряд bn сходится. Тогда

выполнено неравенство

n 1

Sa n ограничена сверху

Sa n Sb n Sb

n. Поэтому последовательность частичных сумм

limn Sa n

Sa Sb .

Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном

переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд an расходится. Если

ряд bn сходится, то по п.1 доказательства и ряд

n 1

n 1

an сходится. Противоречие. Следовательно,

ряд bn расходится.

n 1

n 1

1

1

1

1

Пример. Ряд

расходится,

так

как

, а

ряд

(гармонический)

n

расходится.

n 2

lnn

ln n n

n 2

Второй признак сравнения.

an

Пусть

limn

C 0. Тогда

ряды

an

и

bn

сходятся

или расходятся

bn

n 1

n 1

Доказательство. Раскроем определение предела. 0 N , n N

an

C

.

bn

С

an

C ,

b (C ) a

n

b (C ).

bn

n

n

Если ряд an сходится, то по

1

признаку сравнения ряд bn (C ) сходится

n 1

n 1

n 1

n 1

n 1

Пусть

ряд

an расходится.

Если

ряд

bn сходится,

то

по

предыдущему

ряд

n 1

n 1

an сходится (противоречие).

n 1

Пусть

ряд

bn расходится.

Если

ряд

an сходится,

то

по

предыдущему

ряд

n 1

n 1

Пример.

a

n2

4n 2

Ряд с

n

расходится

по второму признаку

сравнения

(ряд

n3

n 5

сравнения – гармонический ряд).

sin

1

n 1

1

1

n2

n , arctgn -

Ряд

сходится. sin

~

ограничена.

Ряд

narctgn

2

2

n 2

n

n

1

сравнения

- сходящийся ряд Дирихле.

2

n 2

n

an 1

Пусть n N

q 1,

тогда ряд an сходится.

an

n 1

an 1

Пусть n N

q 1,

тогда ряд an расходится.

an

n 1

Доказательство. Пусть n N

an 1

q 1.

an

Тогда a

n 1

qa

n

q

2a

n 1

q3a

n 2

... qna .

1

S

n

a a

2

... a

n

a

a q ... a qn 1

a (1 q q2

... qn 1)

a1

,

и

ряд

1

1

1

1

1

1 q

an сходится.

Можно

было, не оценивая

частичную сумму ряда, заключить,

что

ряд

n 1

49

Пусть n N

an 1

q 1, Тогда a

2

qa

a , a

3

qa

2

q2a

a ...a

n

qn 1a

a .

an

1

1

1

1

1

1

an 1

an 1

Пусть limn

q 1,

тогда ряд an сходится. Пусть limn

q 1, тогда ряд

an

an

n 1

an 1

an расходится.

Если

limn

q 1, то признак не позволяет

сделать вывод о

n 1

an

сходимости или расходимости ряда.

an 1

an 1

Доказательство. Пусть lim

n

q 1. Тогда 0 N ,что n N

q

.

an

an

При малом

0 q

an 1

q 1. По конечной форме признака Даламбера ряд

an

an сходится.

n 1

an 1

an 1

Пусть lim

n

q 1. Тогда

0 N ,что n N

q

. При

малом

an

an

1 q

an 1

,

то есть n N

an 1

an . Поэтому an не стремится к нулю при

n ,

an

a

n 1

(n 1)!nn

nn

1

1

1. Ряд сходится по

lim

lim

lim

lim

n an

n

n (n 1)n

n

1

n

(n 1)n 1 n!

e

1

n