Xn {9 - 6}
при следующих условиях: все Xi положительны и, кроме того, на все Xi налагаются m ограничений (m < n)
A11X1 + A12X2 + ... + AijXj + ... A1nXn = B1;
Ai1X1 + Ai2X2 + ... + AijXj + ... AinXn = Bi; {9 - 7}
Am1X1 + Am2X2 + ... + AmjXj+ ... AmnXn = Bm .
Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д. Данцигом (по другой версии - Л.В. Канторовичем).
Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс-метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.
Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы. В самом деле, если некоторая экономическая система может иметь “главную цель” - достижение максимальной прибыли, то почти всегда можно наблюдать ситуацию наличия ограничений или условий. Нарушение этих условий либо невозможно (тогда не будет самой системы), либо заведомо приводит к недопустимым последствиям для внешней среды. Короче говоря, ситуация, когда цель всего одна и достичь ее требуется любой ценой, практически невероятна.
Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности - существуют только две цели системы
T1 и
T2 и только две возможных стратегии
S1, S2 .
Пусть мы как-то оценили эффективность
E11 стратегии
S1 по отношению к
T1, и эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале от 0 до 1). Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей):
Таблица 9.1
E
|
T1
|
T2
|
S1
|
0.4
|
0.6
|
S2
|
0.7
|
0.3
|
Какую же из стратегий считать наилучшей? Пока мы не оговорим значимость каждой из целей, не укажем их
веса, - спорить бесполезно! Вот если бы нам было известно, что первая цель, к примеру, в 3 раза важнее второй, то тогда можно учесть их
относительные веса - скажем величинами 0.75 для первой и 0.25 для второй. При таких условиях
суммарные эффективности стратегий (по отношению ко всем целям) составят:
для первой
E1 = 0.4 0.70 + 0.6 0.30 = 0.28 + 0.18 = 0.46;
для второй
E2 = 0.8 0.70 + 0.2 0.25 = 0.56 + 0.05 = 0.61;
так что ответ на вопрос о выборе стратегии далеко не очевиден.
Итак, критерий эффективности системы при наличии нескольких целей приходится выражать через эффективности отдельных стратегий виде:
Es = St Ut {9 - 8}
т. е. учитывать веса отдельных целей Ut.
Если вы внимательно следили за рассуждениями при рассмотрении примера {9-2}, то сейчас можете сообразить, что по сути дела там речь шла о двух целях. С одной стороны, мы хотели бы иметь как можно меньшие партии - их дешевле хранить (мал срок хранения). с другой стороны, нам были желательны большие партии, поскольку при этом меньше затраты на запуск партий в производство. Если бы мы перебирали все 365 возможных стратегий (от смены партии каждый день до одной в год), то, конечно же, нашли бы оптимальную стратегию со сменой партий каждые два месяца. Другое дело, что в нашем распоряжении была аналитическая модель системы (формула суммарных затрат).
Так вот - весовые коэффициенты целей в той модели были равными, и мы их могли не замечать при поиске минимума затрат. Ну, а что делать, если “важность” целей приходится измерять не по числовой шкале, а по шкале логики? Иными словами - откуда берутся весовые коэффициенты целей?
Очень редко весовые коэффициенты определяются однозначно по “физическому смыслу” задачи системного анализа. Чаще же всего их отыскание можно называть “назначением”, “придумыванием”, “предсказанием” - т. е. никак не «научными» действиями.
Иногда, как ни странно это звучит, весовые коэффициенты назначаются путем голосования - явного или тайного. Дело в том, что в ситуациях, когда нет числового метода оценки веса цели, реальным выходом из положения является использование накопленного опыта.
Нередко задает весовые коэффициенты непосредственно ЛПР, но чаще его опыт управления подсказывает: одна голова - хорошо, а много умных голов - куда лучше. Принимается особое решение - использовать метод экспертных оценок.
Суть этого метода достаточно проста. Требуется четко оговорить все цели функционирования системы и предложить группе лиц, высоко компетентных в данной отрасли (экспертов) хотя бы расположить все цели по значимости, по “призовым местам” или, на языке ТССА, по рангам.
Высший ранг (обычно 1) означает наибольшую важность (вес) цели, следующий за ним - несколько меньший вес и т. д. Специальный раздел непараметрической статистики - теория ранговой корреляции, позволяет проверить гипотезы о значимости полученной от экспертов информации. Развитие ранговой корреляции, ее другой раздел, позволяет устанавливать согласие, согласованность мнений экспертов или
ранговую конкордацию.
Это особо важно в случаях, когда не только возникла нужда использовать мнения экспертов, но и существует сомнение в их компетентности.
При использовании групповой экспертной оценки можно не только выяснять мнение экспертов о показателях, необходимых для системного анализа. Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод Дельфы (от легенды о дельфийском оракуле).
Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило - анонимно. После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и ее обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед очередным этапом без указания авторов обоснований.
Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений экспертов. В качестве “побочного эффекта” можно составить мнение о профессиональности каждого эксперта.
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета “состояний природы” - воздействий стохастического типа, случайных величин или случайных событий. Это могут быть не только внешние воздействия на систему в целом или на отдельные ее элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют такую же, “случайную” природу.
Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы, и уж тем более, внутри самого элемента (связь “вход-выход”) является основной причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно бессмысленную работу, получить в качестве рекомендаций по управлению системой заведомо непригодные решения.
В таких случаях вместо самой случайной величины X приходится использовать ее математическое ожидание Mx. Все вроде бы просто - не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши ожидания? Какова уверенность, или какова вероятность ошибиться?
Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно - но для этого надо иметь информацию о законе распределения случайной величины. Вот и приходится на данном этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься статистического исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы:
А не является ли данный элемент системы и производимые им операции “классическими”?
Нет ли оснований использовать теорию для определения типа распределения случайной величины (продукции, денег или информационных сообщений)? Если это так - можно надеяться на оценки ошибок при принятии решений, если же это не так, приходится ставить вопрос иначе.
А нельзя ли получить искомое распределение интересующей нас случайной величины из данных эксперимента? Если этот эксперимент обойдется дорого или физически невозможен, или недопустим по моральным причинам, то может быть воспользоваться апостериорными данными, опытом прошлого или предсказаниями на будущее, экспертными оценками?
Если и здесь нет оснований принимать положительное решение, то можно надеяться еще на один выход из положения.
Иногда все же возможно использовать текущее состояние уже действующей большой системы, ее реальную “жизнь” для получения