Материал: Лаб_общ_часть

ки), их средних арифметических i (звездочки), оценок ai , ai гра-

Кроме характеристики аддитивной погрешности необходимо указать характеристику мультипликативной погрешности, порождаемой погрешно-

стью, с которой мы оценили значение коэффициента преобразования a1

(см. формулу (3.50) и п. 2.1). В соответствии с идеологией интервального оценивания, описанной в п. 3.3.1, значение коэффициента преобразования будем оценивать доверительным интервалом с заданной доверительной ве-

роятностью. К данному случаю применяют технику построения довери-

тельного интервала для математического ожидания, которая изложена в п.

3.3.2.В соответствии с этой техникой и с формулой (3.22) можем записать:

Таким образом, возвращаясь к обозначениям п. 2.1, можно считать,

что с вероятностью Q модуль погрешности коэффициента преобразования не превосходит значения

В конечном итоге получены все данные, необходимые для определе-

ния коэффициентов c и d двучленной формулы (2.10).

3.6. Идентификация плотности распределения случайной составляющей погрешности измерений с помощью проверки статистических гипотез

3.6.1. Критерии проверки статистических гипотез о плотности распределения случайных погрешностей

Выше в разделе 3.5 приведены примеры применения методов проверки статистических гипотез для идентификации статических характеристик преобразования средств измерений. В настоящем разделе

81

будут рассмотрены методы идентификации плотности распределения случайной составляющей погрешности средств измерений и результатов измерений с помощью следующих наиболее распространенных критериев:

-“хи-квадрат”,

-Колмогорова - Смирнова,

-“омега-квадрат” Мизеса.

3.6.2. Проверка гипотезы Ho о соответствии плотности распределения выборочным данным по критерию “хи - квадрат”

Гипотеза H0 состоит в том, что выборочные значения извлечены из генеральной совокупности, плотность распределения вероятностей которой

(x).

Проверка этой гипотезы по критерию 2 производится путем сравне-

ния гистограммы с предполагаемой теоретической кривой плотности рас-

пределения вероятностей. Критерий 2 есть количественная оценка отли-

чия теоретической кривой от гистограммы и вычисляется по формуле

где K - общее количество отрезков оси абсцисс, на которых построена гис-

тограмма, r - количество параметров предполагаемой плотности распреде-

ления, которые были вычислены по выборочным данным, n - объем вы-

борки, nk - количество выборочных значений, попавших в k - ый интервал гистограммы (см. п. 3.1.3), pk - вероятность попадания значения случай-

ной величины (погрешности, помехи) в этот же интервал, вычисленная по теоретической плотности распределения (2.3):

xk

pk x dx .

xk 1

Критическое значение 12 (K r) критерия назначается путем зада-

ния уровня значимости . Ниже приведена таблица критических значений критерия.

Теперь, если окажется, что 2(K-r) > 12 (K r) , делается следую-

82

щее заключение: "Если бы полученная нами выборка была извлечена из генеральной совокупности с плотностью распределения (x), то такое большое значение критерия настолько маловероятно, что у нас нет основа-

ний для подтверждения выдвинутой гипотезы".

Таблица 3.8

Таблица критических значений критерия 2

В противоположной ситуации, когда

2(K-r) < 2 (K r),

1

делается заключение: "Выборочные данные не противоречат гипотезе о том, что они извлечены из генеральной совокупности с плотностью (x)".

3.6.3. Проверка гипотезы Ho о соответствии плотности распределения выборочным данным по критерию Колмогорова - Смирнова

В соответствии с настоящим критерием сопоставляются функции рас-

пределения : предполагаемая и выборочная (см. п. 3.1.2). В качестве меры расхождения между ними здесь используется максимальный модуль разно-

сти:

где F x(i) - предполагаемая функция распределения.

Заданному уровню значимости соответствует критическое значение критерия D , и если окажется, что D > D , делается заключение: "Если бы полученная нами выборка была извлечена из генеральной совокупности с

83

плотностью распределения (x), то такое большое значение критерия настолько маловероятно, что у нас нет оснований для подтверждения вы-

двинутой гипотезы".

В противоположной ситуации, когда D < D , делается заключение: "Выборочные данные не противоречат гипотезе о том, что они извлечены из генеральной совокупности с плотностью распределения (x)".

Таблица 3.9

Критические значения D

n

0.20.322 0.266 0.231 0.208 0.190 0.176 0.165 0.148 0.136 0.118 0.106

0.10.369 0.304 0.265 0.238 0.217 0.202 0.189 0.169 0.155 0.135 0.121

0.050.409 0.337 0.294 0.264 0.242 0.224 0.210 0.118 0.172 0.150 0.134

Для корректного применения критерия Колмогорова-Смирнова нужно разделить выборку на две группы, по одной из них оценить параметры предполагаемой функции распределения, а по другой - построить выбо-

рочную функцию распределения и приступать к проверке гипотезы.

В таблице 3.9 приведена выписка из таблицы критических значений

D .

3.6.4. Проверка гипотезы Ho о соответствии плотности распределения выборочным данным по критерию 2 Мизеса

Мерой расхождения между предполагаемой и выборочной функциями распределения является средний квадрат разностей между ними:

Это выражение существенно упрощается, если интеграл представить в виде суммы интегралов по интервалам x( i) ,x( i 1) . Тогда после умноже-

ния на n будем иметь:

84

где i - номер члена вариационного ряда, F x(i) - предполагаемая функция распределения.

Точные критические значения 2 не табулированы, но уже начиная с объема выборки n = 50, можно уверенно пользоваться значениями, кото-

рые приведены в нижеследующей таблице.

Таблица 3.10

Критические значения критерия Мизеса

ли бы полученная выборка была извлечена из генеральной совокупности с плотностью распределения (x), то такое большое значение критерия нас-

только маловероятно, что у нас нет оснований для подтверждения выдви-

нутой гипотезы".

В противоположной ситуации, когда n 2 n 2 , делается заклю-

чение: "Выборочные данные не противоречат гипотезе о том, что они извлечены из генеральной совокупности с плотностью распределения

(x)".

85