Документ: Лаб_общ_часть, страницы 71-75 | База учебных материалов

Вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы, если она на

самом деле справедлива, будет не больше заданной нами вероятности .

Таблица 3.5

Критические значения критерия Кочрена

k	2	3	4	5	6	7
n
6	0.8772	0.7071	0.5895	0.5063	0.4447	0.3974
8	0.8332	0.6530	0.5365	0.4564	0.3980	0.3535
10	0.8010	0.6167	0.5017	0.4241	0.3682	0.3259
12	0.7910	0.5020	0.4780	0.4020	0.3460	0.3050

Результаты выполненной нами предварительной обработки исходных

данных запишем в виде вектора средних значений и матрицы оценок дис-

персий:

y1y2

Y . ,

.yk

s120

S ..

0

0	. .	0
s22	. .	0
s22	. .	0
.	. .	.	.	(3.35)
.	. .
.	. .	.
0	. .	2
0	. .	sk

3.5.3. Определение статической характеристики преобразования.

Случай равноточных измерений

Поскольку степень полинома q неизвестна, мы вынуждены отыскивать полином, аппроксимирующий статическую характеристику преобра-

зования с подбором подходящей степени. Пусть предполагаемая степень искомого полинома равна p. Тогда мы хотели бы, чтобы во всех i - ых точ-

ках выполнялись равенства:

y

i a0

a1xi a2xi2 ... apxpi , i = 1,2,...,k.

(3.36)

Эти равенства образуют систему уравнений, которая может быть запи-

сана в матричном виде

Y X A,

(3.37)

71

где вектор Y определен в (3.35). Матрица X и вектор A имеют вид

	1 x		x2	. . xp			a0
		1	1	1
	1 x		x2	. . xp			a1
X		2	2	2	,	A			(3.38)
			.	. . .
	. .		.	. . .			.	.
	. .		.	. . .			.
	1 x		x2	. . xp			ap
		k	k	k

Всегда желательно, чтобы k > p + 1. Таким образом создается полез-

ная избыточность, повышающая устойчивость оценок коэффициентов по-

линома. Но при этом матрица X неквадратная, и система (3.37) не имеет решения в обычном смысле. Для получения решения эту систему преобра-

зуют к системе с квадратной матрицей путем умножения слева на транспо-

нированную матрицу XT :

XTY XTX A,

Решая эту систему, получают вектор оценок коэффициентов полино-

ма:

~

T

X

1

T

X

Y.

(3.39)

A X

Компонентами вектора

~

являются оценки

~

1

~

коэффици-

A

a0

,a

,...,ap

ентов полинома (3.36). Описанный метод их получения называется мето-

дом наименьших квадратов (МНК).

Для того, чтобы оценить дисперсии погрешности оценок коэффициен-

тов, следует найти наибольшую из оценок дисперсии smax2 maxsi2 , полу-

i

ченных по (3.33), и вычислить дисперсионную матрицу оценок коэффици-

ентов:

	2		1
a	n

S~	smax	XTX	.	(3.40)

Диагональные элементы этой матрицы суть дисперсии искомых коэф-

фициентов. Появление множителя 1/n вызвано тем, что левая часть си-

стемы (3.37) - это вектор средних арифметических значений, дисперсия ко-

торых, как указано в п. 3.2.1, в n раз меньше дисперсии погрешности одно-

кратных измерений.

Формулируется статистическая гипотеза

72

H0: “степень полинома не превышает p”

вместе с сопровождающей ее альтернативой

H1: “степень полинома превышает p”.

Для проверки этой гипотезы полученные оценки коэффициентов под-

ставляются в полином (3.36), (3.37), во всех i - ых точках вычисляются от-

клонения значений этого полинома от средних значений Y и находится сумма квадратов этих отклонений, взвешенных обратно пропорционально оценкам дисперсий погрешностей измерений в этих точках:

R	2	~	T	S	1	~	(3.41)

		n X A Y				X A Y ,

где S 1 - матрица, обратная матрице, определенной в (3.35).

Сформулированная гипотеза проверяется с помощью упрощенного

критерия критерий Фишера и сводится к проверке неравенства

R2 k p 1 F		k p 1,n 1 ,			(3.42)
1
где - уровень значимости (см. п. 3.4). Значения F				k p 1,n 1 при-
		1
ведены в таблицах 3.6, 3.7 для уровней значимости 0.05 и 0.1 .
В этих таблицах обозначено : k1	k p 1, k2		n 1.

Если неравенство (3.42) выполняется, делается вывод о том что наша гипотеза не противоречит экспериментальным данным. В противном слу-

чае приходится сделать вывод, что выбранная нами степень полинома не-

достаточна, то есть p < q.

Таблица 3.6

Критические значения критерия Фишера, =0.05

k1	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
k2
5	5.41	5.19	5.05	4.95	4.88	4.82	4.77	4.73	4.68	4.62
7	4.35	4.12	3.97	3.87	3.79	3.72	3.68	3.63	3.57	3.51
9	3.86	3.63	3.48	3.37	3.29	3.23	3.18	3.14	3.07	3.00
11	3.58	3.36	3.20	3.09	3.01	2.95	2.90	2.85	2.79	2.72
13	3.41	3.18	3.02	2.91	2.83	2.77	2.71	2.67	2.63	2.60
15	3.29	3.05	2.90	2.79	2.71	2.64	2.59	2.54	2.50	2.47
17	3.19	2.96	2.81	2.70	2.61	2.55	2.49	2.45	2.41	2.38

73

Таблица 3.7

Критические значения критерия Фишера, =0.1

k1	3	4	5	6	7	8	3	10	11	12
k2
5	3.61	3.52	3.45	3.4	3.37	3.34	3.31	3.29	3.90	3.87
7	3.07	2.96	2.88	2.82	2.78	2.75	2.72	2.70	2.67	2.63
9	2.81	2.69	2.61	2.55	2.50	2.47	2.44	2.41	2.38	2.34
11	2.66	2.53	2.45	2.39	2.34	2.30	2.27	2.25	2.21	2.16
13	2.56	2.43	2.35	2.28	2.23	2.19	2.16	2.14	2.12	2.10
15	2.49	2.36	2.27	2.21	2.16	2.12	2.08	2.06	2.04	2.02
17	2.44	2.31	2.22	2.15	2.10	2.06	2.03	2.00	1.98	1.96

Алгоритм определения статической характеристики преобразования средства измерений представляет собой итеративный процесс, поскольку степень полинома априори неизвестна.

После выполнения эксперимента по п. 3.5.1, предварительной обра-

ботки его результатов по п. 3.5.2 задается уровень значимости для про-

верки гипотезы о достаточности степени полинома и производятся следу-

ющие операции.

1: Задается начальное значение степени аппроксимирующего поли-

нома p = 1.

2: Формируется матрица X по (3.38).

~

3: Вычисляются оценки коэффициентов A по (3.39).

4: Проверяется статистическая гипотеза о достаточности степени по-

линома по (3.41), (3.42) :

H0: “степень полинома не превышает p”,

против альтернативы

H1 : “степень полинома превышает p”

Если гипотеза H0 отклоняется, p = p + 1, переход на 2: .

Если гипотеза H0 не отклоняется, переход на 5: .

5: Оцениваются дисперсии погрешности полученных значений коэф-

фициентов по (3.40).

Конец.

В конечном итоге мы получаем оценку статической характеристики

74

средства измерений в виде полинома
~ ~	0	~	~	2x	2	~	p	.	(3.43)
y a	0	a	1x a	2x		... apx		.	(3.43)

Замечание. Гипотеза H0 может оказаться отклоненной не только из-за недостаточности степени аппроксимирующего полинома. Другими причи-

нами ее отклонения могут быть:

- наличие изменяющейся в диапазоне измерения систематической со-

ставляющей в составе погрешностей средств измерений, которые участву-

ют в эксперименте, - отказы аппаратуры и грубые промахи в измерениях, допущенные

экспериментатором.

3.5.4. Определение статической характеристики преобразования.

Случай неравноточных измерений

Процедура определения статической характеристики преобразования средств измерений в случае различных погрешностей измерений выходной величины выполняется в случае отрицательного результата проверки гипо-

тезы о равноточности измерений. Эта процедура идентична процедуре,

описанной выше в п. 3.5.3. Отличие состоит в том, что оценки коэффици-

ентов полинома вычисляются по формуле:

~

T

1

X

1

T

1

S

Y.

(3.44)

A X

X

Дисперсии этих оценок суть диагональные элементы матрицы

Sa~

1

XTS 1X 1.

(3.45)

n

Итак, отличие этих формул от формул предыдущего пункта заключа-

ется в появлении матрицы S 1. Ее вычисление необременительно, по-

скольку матрица S диагональная (см. формулу (3.35)), и обратная ей мат-

рица также диагональная. Ее диагональные элементы обратны диагональ-

ным элементам исходной матрицы.

Алгоритм определения статической характеристики преобразования средства измерений в рассматриваемом случае практически совпадает с ал-

горитмом п. 3.5.3. за исключением упомянутых отличий в формулах.

После выполнения эксперимента по п. 3.5.1 и предварительной обра-

75

Материал: Лаб_общ_часть

Смотрите также: