Материал: lect6-7_m1_vm1_vt_aig_230100.62_niy06

.

Сравним абсолютные величины и .

Из уравнения (5.11) , т.е. , тогда , отсюда .

Аналогичные преобразования дают

Таким образом,

или и точка принадлежит гиперболе, следовательно, уравнение (5.11) – уравнение гиперболы.

Уравнение (5.11) называется каноническим уравнением гиперболы, числа и в уравнении (5.11) - соответственно «действительной» и «мнимой» полуосями гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.

Утверждение 3. Гипербола имеет две оси симметрии и центр симметрии.

В самом деле, если принадлежит гиперболе, то принадлежит гиперболе (так как входит в уравнение (5.11) в четной степени) и принадлежит гиперболе (так как входит в уравнение (5.11) в четной степени), но тогда и принадлежит гиперболе, а это и означает, что гипербола симметрична относительно осей и , а также начала координат (рис. 5.6).

Определение 4. Две взаимно перпендикулярные оси симметрии гиперболы называются главными осями гиперболы, а центр симметрии - центром гиперболы.

Точки пересечения гиперболы с одной из главных осей называются вершинами гиперболы: , . Та из главных осей гиперболы, которая имеет с ней общие точки, называется действительной осью, другая – мнимой.

Замечание. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.

Так как для точек гиперболы , в области (в полосе, ограниченной прямыми ), точек гиперболы нет.

Как и для эллипса, прямоугольник, ограниченный прямыми и , называется основным прямоугольником. Его диагонали задаются уравнениями .

Определение 5. Пусть для функции существует такая прямая , что при бесконечном удалении точки от начала координат, тогда эта прямая называется асимптотой графика функции .

Утверждение 4. Прямые являются асимптотами гиперболы.

Ограничимся рассмотрением области , (I четверть), так как имеет место осевая симметрия.

Из уравнения (5.11)

. (5.14)

Зафиксируем (рис. 5.7), точка лежит на гиперболе, а – на прямой , .

.

Имеем

,

следовательно, при и в соответствии с определением 5 прямая – асимптота гиперболы (5.11).

Построим гиперболу (5.11) в I четверти и затем воспользуемся установленной симметрией относительно осей и .

Из (5.14) следует, что при возрастании от до переменная возрастает от до .

Суммируя все приведенные соображения, получим «эскиз» гиперболы вначале в I четверти, а затем на всей плоскости (рис. 5.8).

5.3. Парабола

Определение 6. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой.

Обозначим фокус параболы через , директрису – через . Тогда

параболе .

В ведем систему координат. Проведем через прямую , точку пересечения обозначим , ось направим по вектору через точки и , ось – через середину отрезка перпендикулярно оси (рис. 5.9).

Обозначим , .

Точка параболе . (5.15)

Замечание. Точек параболы нет в области .

Д ействительно (рис. 5.10), если точка принадлежит полосе между и , то

.

Если точка лежит левее директрисы, т.е. в полуплоскости , то .

Из (5.15) получим, возведя в квадрат:

, или

. (5.16)

Пусть такова, что и удовлетворяют уравнению (5.16). Тогда

.

Следовательно, уравнение (5.16) – уравнение параболы.

Уравнение (5.16) называется каноническим уравнением параболы, - параметром параболы.

Утверждение 5. Парабола имеет ось симметрии.

В самом деле, если принадлежит параболе, то тоже принадлежит параболе (так как переменная входит в уравнение (5.16) в четной степени), - это и означает, что парабола симметрична относительно оси .

Определение 7. Ось симметрии параболы называется осью параболы, точка пересечения параболы с осью – вершиной параболы (на Рис. 5.11 – т. ).

Замечание. Фокус параболы расположен на ее оси.

И з уравнения (5.16) имеем .

Рассмотрим ветвь параболы, расположенную в I четверти, она задается уравнением .

При возрастании от до переменная возрастает от до .

«Эскиз» параболы изображен на рис. 5.11.

Замечание. Пусть - декартова система координат. Алгебраическое уравнение 2-го порядка

(5.17)

определяет относительно алгебраическую линию 2-го порядка (определение 2 в лекции 3).

В соответствии с этим эллипс, гипербола и парабола – алгебраические линии 2-го порядка. Ими не исчерпываются все частные случаи уравнения (5.17).

Пример 1. Уравнение

(5.18)

определяет пару пересекающихся прямых.

Действительно, из (5.18) получим (рис. 5.12).

Упражнение. Определить вид и расположение кривой 2-го порядка, определяемой уравнениями:

1) ; 2) .

5.4. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости

П усть на плоскости заданы две произвольные декартовы системы координат (декартов базис и точка – начало координат) и (декартов базис и точка – начало координат) – обе правые (рис. 5.13).

Пусть точка имеет относительно системы координаты и , а относительно – и . Выясним, как связаны числа , и , .

Имеем , , .

Пусть точка имеет в системе координаты , следовательно, .

Таким образом,

. (5.19)

Так как – базис, найдутся числа и такие, что