Материал: lect6-7_m1_vm1_vt_aig_230100.62_niy06
(5.20)
Тогда (5.19) перепишется в виде
,
или
.
Отсюда в силу доказанной в лекции 1 теоремы 6 (о единственности разложения вектора по базису) получим
(5.21)
В
равенствах (5.20) числа
,
,
– декартовы координаты векторов
и
в базисе
,
т.е. проекции векторов
и
на оси векторов
и
.
Обозначим
,
тогда
,
,
,
(на рис. 5.14 одной дугой отмечены углы с соответственно перпендикулярными сторонами).
Ф
ормулы
(5.21) примут вид
(5.22)
Формулы (5.22) – формулы преобразования декартовых координат.
В
частности, при
– (5.23)
формулы
параллельного переноса осей на вектор
,
а если
,
то формулы (5.22) примут вид
– (5.24)
формулы
поворота осей на угол
против хода часовой стрелки.
Замечание. Каковы бы ни были две правые системы координат и , первая из них может быть совмещена со второй посредством параллельного переноса и последующего поворота вокруг начала координат, или наоборот.
Пример 2. Установить, что уравнение
(5.25)
определяет эллипс, найти его центр и полуоси.
В самом деле, преобразуем (5.25):
,
или
,
или
.
(5.26)
Положим
(5.27)
и
уравнение (5.26) примет вид
– уравнение эллипса с полуосями
и
.
Формулы
(5.27) – формулы параллельного переноса
осей в точку
.
Следовательно, центр эллипса находится
в точке
(рис.
5.15).
Пример
3.
Установить, что уравнение
определяет гиперболу, найти ее центр и
полуоси.
Подберем
угол
,
после поворота на который уравнение
кривой не будет содержать произведения
переменных
и
.
Подставим равенства (5.24) в заданное
уравнение
,
или
:
,
или
,
или
.
(5.28)
Найдем
такой угол
,
чтобы в последнем уравнении не содержалось
слагаемое
.
Достаточно положить
,
т.е.
,
.
При этом преобразование (5.24) имеет вид
–
поворот против часовой стрелки вокруг точки , а уравнение кривой (5.28) в новой системе координат:
–
это
уравнение гиперболы с полуосями
и
центром в точке
(рис. 5.16).
Лекция 7
5.5. Классификация поверхностей 2-го порядка по их каноническим уравнениям
Пусть
- декартова система координат.
Алгебраической поверхностью 2-го порядка
называется поверхность, уравнение
которой относительно
имеет вид
,
(5.29)
не
равны одновременно нулю.
Уравнение (5.29) может определять относительно так называемую вырожденную поверхность (пару плоскостей, точку, пустое множество и т.д.).
Если (5.29) – невырожденная поверхность, то некоторым преобразованием декартовых координат ее уравнение может быть приведено к каноническому виду (примем этот факт без доказательства).
П
о
каноническому виду определяется тип
поверхности:
1) эллипсоид трехосный (рис.5.17):
;
2) гиперболоид:
а) однополостный (рис.5.18):
;
б) двуполостный (рис.5.19):
;
3
)
конус 2-го порядка (рис. 5.20):
4) параболоид:
а) эллиптический (рис. 5.21):
;
б) гиперболический (рис. 5.22);
;
5
)
цилиндр 2-го порядка (рис. 5.23):
а) эллиптический:
;
б) гиперболический (рис. 5.24):
;
в) параболический (5.25):
.
Основным методом исследования формы поверхности по ее уравнению является метод сечений.
Метод
сечений заключается в том, что в уравнении
поверхности последовательно полагают
,
,
(т.е. «пересекают» поверхность плоскостями,
параллельными координатным) и в
зависимости от вида кривой, получающейся
в сечении, делают заключение о типе
поверхности и ее расположении.
Пример 4. Методом сечений исследовать форму и построить поверхность
.
(5.30)
Положим
,
или
.
Отметим,
что при
точек пересечения нет (следовательно,
в области
точек поверхности нет); при
уравнение (5.30) определяет эллипс с
полуосями
и
;
при
точка
(поверхность проходит через начало
координат).
Пусть
,
тогда
,
или
,
или
– парабола с
,
смещенная по оси
вверх на
.