Документ: Лекція № 5. Матем. аналіз (1), страницы 1-5

ЛЕКЦІЯ № 5. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

§1. Вступ до математичного аналізу.

1.Поняття функції однієї змінної. Способи завдання та

		властивості функцій
Нехай задано дві непусті множини X і Y .
Означення. Відповідність f ,				яка кожному елементу x X		ставить у
відповідність один	та	лише	один	елемент	y Y , називається	функцією і
записується y f x .
Якщо множини		X ,Y є підмножинами множини дійсних чисел , тоді
f x – числова	функція.		Функцію можна задати різними			способами:

аналітичним, графічним або табличним. Коли функція задається аналітично, то відрізняють такі види її завдання: y f x – явне завдання функції, F x, y 0

– неявне завдання,

x x t		, t I
	y y t

– параметричне завдання, у якому

t

називають параметром. Якщо функція задається у вигляді графіку, то кажуть про графічний спосіб завдання функції. Якщо ж функція задається за

допомогою таблиці, то маємо табличне завдання функції.
Множина X , для кожного елементу якої визначене значення функції,
називається областю визначення функції і позначається D	f , а множина всіх


можливих значень функції називається областю значень функції та
позначається E f .
Означення. Функція y f x				називається парною, якщо для будь-якого
значення	x D f , значення x також належить D f і f x f						x .
Графік парної функції симетричний відносно осі Oy .
Означення. Функція y f x				називається непарною, якщо для будь-
якого значення x D f , значення x також належить D f і						f x f x .
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат.
Означення. Якщо для будь-яких x1 , x2 D1 D f з нерівності								x1 x2
випливає	нерівність		f x1 f x2	( f x1 f x2 ),	тоді	функцію		f x
називають зростаючою (спадною) на множині D1 . На рис. 1.1							зображено
графіки зростаючої (а) та спадної (б) функцій.
Означення. Якщо ж замість строгих нерівностей маємо нестрогі, тобто
f x1 f x2		або	f x1 f x2 ,	тоді функцію	називають		відповідно

незростаючою або неспадною відповідно.

Усі функції, для яких виконуються зазначені вище нерівності, як строгі, так і нестрогі, називають монотонними функціями.

1

а)

(б)

Рис. 1.1

Означення. Функція

f x називається обмеженою на множині D , якщо

існує таке число

M 0,

що

для

будь-якого x D

виконується

нерівність

f x

M .

y sin x

Наприклад,

функція

обмежена на всій області визначення, тому

що sin x 1

x R ( M 1).

Означення.

Функція

f

x

з

областю визначення

D

називається

періодичною, якщо існує таке число

T 0 , що для будь-якого x D

і x kT

також належить D при всіх

k

і виконується

рівність

f x f x kT .

Число T

називають періодом функції.

Нехай

задана функція

y f

x

з областю

визначення

D

і областю

значень

E .

Якщо будь-якому

y E

відповідає

єдиний

x D ,

такий що

y f x , тоді кажуть,

що визначена функція

x g y

з областю визначення E

і областю значень

D . Таку функцію

x g y

називають оберненою до функції

y f x і в загальному випадку записують так: x f

1

y .

Наприклад,

для функції

y ln x D( y) 0; , E( y) R

оберненою є

функція

x e

y

D(x) R, E(x)

0; .

Нехай функція

y f u

визначена на множині D

і функція u g x

визначена на множині

D1 ,

причому для будь-якого

x D1

маємо

u g x D ,

тоді на множині D1 визначена функція

y f g x ,

яку називають складною

функцією від

x

або композицією функцій y f u

і

u g x . Змінну u g x

називають проміжним аргументом.

Наприклад, функція

вигляді:

y ln u , де u

x .

y ln	x	– складна функція, яку можна подати у
		– складна функція, яку можна подати у

D( y) 0; .

2. Елементарні функції та їх класифікація

Серед усіх можливих функцій виділяють так звані основні елементарні функції, до яких належать такі функції:

2

; x

, якщо 0 і є цілим числом,

степенева y x ,

x ;0

0; , якщо

0,

x 0;

, при інших 0,

x 0;

, при інших 0

;

показникова y a

x

, a

0, a 0, x

;

логарифмічна y loga x, a 0, a 1, x 0; ;

тригонометричні y sin x,

y cos x, x

,

y tg x,

y sec x ,

x

k, k

,

2

y ctg x, y cosec x ,

x k, k

;

y arcsin x,

y arccos x ,

обернені тригонометричні

x

1;1 ,

y arctg x, y arcctg x, x .

,

Функція, яка утворена з основних елементарних функцій виконанням скінченого числа арифметичних дій і операцій утворення складної функції,

називається елементарною. Наприклад

	y 3sin	1
	y 3sin	x
		x

5ln	2

x

.

В математиці прийнята наступна класифікація елементарних функцій.

1. Многочлени, або цілі раціональні функції.

Многочленом (цілою раціональною функцією)

n

-го

степеня (

n N

)

називається	функція вигляду	Pn (x) a0 x			n	a1x			n 1	... an 1x an , де числа
називається	функція вигляду	Pn (x) a0 x				a1x				... an 1x an , де числа
a0 , a1 ,..., an R називають коефіцієнтами, a0					0			старшим коефіцієнтом.
Якщо	n 0, P0 (x) a0 стала величина і							вважається многочленом 0
степеня.
2. Дробово-раціональні функції або раціональні дроби.
Дробово-раціональною функцією називається функція, яка є
відношенням двох многочленів степенів m і n відповідно:
		R(x)	P			(x)
				m			.
			Q			(x)	.
			Q			(x)
					n

Усі цілі та дробово-раціональні функції утворюють клас раціональних функцій.

3. Ірраціональні функції.

Функції, у яких крім операцій додавання, множення, ділення, піднесення у цілий степінь, присутні операції піднесення у степінь з дробовим (раціональним) показником, називаються ірраціональними функціями. Прикладом такої функції є

f (x) k Pm (x) . Qn (x)

3

Усі раціональні і ірраціональні функції утворюють множину алгебраїчних функцій.

4. Функції, які не є алгебраїчними, називаються трансцендентними. З простіших елементарних функцій до трансцендентних відносяться степеневі з ірраціональним показником степеня, показникові, логарифмічні, прямі і обернені тригонометричні функції.

3. Границя функції.

При формулюванні теорем, а також у визначеннях в математиці часто повторюються окремі вирази і слова. Для їх скороченого запису зручно використовувати спеціальні символи математичної логіки, які називаються кванторами. Розглянемо найбільш поширені з них.

Для скороченого запису окремих виразів в математиці зручно використовувати спеціальні символи математичної логіки, які називаються

кванторами.

– квантор загальності (для будь-якого, для всіх, для кожного). Так наприклад, те, що квадрат будь-якого дійсного числа – невід’ємне число, записується так:

x R

x

2

0.

– квантор існування (існує хоча б один, знайдеться і т.д.). Те, що

рівняння

sin x 1

має

хоча б один дійсний розв’язок,

можна

записати

наступним чином:

x R :sin x 1.

Нехай функція

y f x визначена

в деякому околі точки

x0 ,

крім,

можливо, самої точки

x0 .

f x у точці

Означення. Число

A називається границею функції

x0

(або

при x x0 ), якщо

(як завгодно малого)

0

таке, що

x , яке

задовольняє нерівність
	0 x x0	,	(1.1)
виконується нерівність
	f x A .		(1.2)
Скорочено це записують так: lim f x A .
	x x
	0
Наприклад,	lim x2 4.
	x 2
Сенс означення границі функції f x			у точці x0 полягає в тому, що для
всіх значень x ,	достатньо близьких	до	x0 , значення функції f x за

абсолютною величиною як завгодно мало відрізняються від числа A. Відмітимо очевидні властивості границі функції.

4

Якщо функція має скінченну границю в точці

x0

, то вона обмежена в

деякому околі цієї точки.
Границя сталої величини дорівнює цій сталій:	lim c c, c const .
	x x
	0

Нехай функція

y f x визначена на множині всіх дійсних чисел.

	Означення. Число
якщо	M M
виконується нерівність			f
			1
	Наприклад, lim
	x	x

A називається границею функції				y f x при
0	таке, що		x , для якого	виконується
x A . Записується це так: lim f x A .
				x
		x
1 1, lim e		x	0 .
1 1, lim e			0 .
	x
	x

x x

M

,

Також важливим у математичному аналізі є поняття про односторонні границі.

Означення. Число

називається границею функції y f x у точці x0

A

зліва, якщо

0

таке, що x x0

x0

виконується

нерівність:

f x

(1.3)

A .

Аналогічно, число

називається границею функції y f x

у точці

A

x0 справа, якщо

0 таке, що

x x0 ; x0 виконується

нерівність:

(1.4)

f x A .

Скорочено

границя

зліва

записується

так:

lim

f x A

або

x x 0

0

f (x0

, а

границя

справа

відповідно так:

lim

або

0) A

f x A

x x0 0

f (x

0) A

(рис. 1.2).

0

Рис. 1.2

4. Основні властивості функцій, що мають границю.

Нехай задано дві функції u u x	і v v x , які мають у точці x0
скінченні границі A і B відповідно, тобто

5

Материал: Лекція № 5. Матем. аналіз (1)

ЛЕКЦІЯ № 5. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

3. Границя функції.

4. Основні властивості функцій, що мають границю.

Смотрите также: