Материал: Лекція № 5. Матем. аналіз (1)
7. |
|
|
|
1 |
|
, |
|
tg x |
|
2 |
|||||
|
|
|
cos |
x |
|||
|
|
|
|
|
|||
9. |
|
|
|
|
|
|
1 |
arcsin x |
|
|
1 x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
|
|
|
|
1 |
||
arctg x |
1 x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
13. |
|
ch x , |
|||||
sh x |
|||||||
15. |
|
|
1 |
, |
|||
th x |
|
|
2 |
||||
|
|
|
ch |
x |
|||
|
|
|
|
||||
2
,
,
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
8. ctg x |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
sin |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
|
|
|
1 |
|
||||
arccos x |
|
1 x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12. |
|
|
|
|
1 |
, |
|||
arcctg x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
14. |
|
sh x , |
|
|
|
||||
ch x |
|
|
|
||||||
16. |
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
cth x |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
sh |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
,
В останніх чотирьох формулах записані похідні так званих гіперболічних функцій, які визначаються за такими формулами:
|
ex e x |
|
ex |
e x |
sh x |
|
|
|
ch x |
|
||
sh x |
|
|
,ch x |
|
|
, th x |
|
,cth x |
|
|
|
, |
2 |
|
|
2 |
ch x |
|
sh x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
і називаються гіперболічним |
|
синусом |
sh x , гіперболічним |
|
косинусом |
|||||||
гіперболічним тангенсом th x |
та гіперболічним котангенсом cth x . |
|
||||||||||
Приклади. Знайти похідні таких функцій:
ch
x
,
а) |
y x x tg 2x , б) |
Розв’язання. |
|
а) |
Запишемо функцію |
y sin |
x |
3 |
1 log |
|
|
4 |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
у спрощеному
x ,
виді
в) y |
arctg |
||
|
1 4 |
||
|
|
|
|
y x |
3/2 |
tg |
|
|
|
||
2x
x2
2x
.
. Отже ця
функція представляє собою суму двох доданків, тому для знаходження похідної застосуємо формулу (2.5). Похідна першого доданку, як простої функції, знаходиться за таблицею похідних, а для отримання похідної другого доданку потрібно застосувати формулу диференціювання складної функції (2.9), у якій зовнішньою функцією є тангенс, а внутрішньою – 2x .
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
3 |
1 |
1 |
|
||||
|
3/2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||
y x |
|
|
tg 2x |
|
|
x |
|
|
2x |
|
|
x |
|
|
2 |
||
|
2 |
cos2 2x |
2 |
cos2 2x |
|||||||||||||
б) У цьому випадку функція представляє собою добуток двох складних функцій, тому застосовуємо спочатку формулу (2.6), а потім формулу (2.9).
cos x
4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
sin |
x |
3 |
1 |
|
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 1 log2 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
cos |
x |
3 |
1 |
log |
|
x |
|||||
4 |
4 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
log2 x sin |
x |
|
|
1 log2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
. 1 |
||
x sin x 1 1 log2 x 3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
sin |
|
|
|
|
|
1 log |
2 |
x |
3 |
|
|
||||||
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
log2 x
2 |
. |
|
в) Ця функція представляє собою частку двох складних функцій, тому застосовуємо формулу (2.8), а потім формулу (2.9).
16
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg 2x |
|
|
|
1 4x |
2 |
|
|
arctg 2x |
|
1 4x |
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
1 |
4x |
2 |
|
arctg 2x 8x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
4x2 |
8x arctg 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
2 8x arctg 2x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
17