Документ: Лекція № 5. Матем. аналіз (1), страницы 11-15

Материал: Лекція № 5. Матем. аналіз (1)

§ 2. Елементи диференціального числення

1. Означення похідної . Геометричний

та економічний зміст похідної.

2. Правила диференціювання.

3. Таблиця похідних функцій однієї змінної.

§ 2. Елементи диференціального числення

1. Означення похідної . Геометричний

та економічний зміст похідної.

2. Правила диференціювання.

3. Таблиця похідних функцій однієї змінної.

Смотрите также:

Означення. Точки, у яких порушується
називаються точками розриву цієї функції.
Якщо	x x0	— точка розриву функції	y

виконується хоча б одна з умов неперервності функції, а) функція визначена в околі точки x0 , але не

неперервність функції,

f x , тоді в ній не

а саме:

визначена у самій точці

x0

;

при

x

lim

x x0

б) функція визначена в точці	x0
x x0 ;
в) функція визначена у точці	x0
x0 , але ця границя не дорівнює
f x f x0 .

та її околі, але не існує границі

та її околі, існує границя	f x
значенню функції у точці	x0 ,

	f x
	при

тобто

Усі точки розриву функції поділяються на точки розриву першого та

другого роду.

f x ,

Означення. Точка

x0

називається точкою розриву першого роду функції

якщо

у цій

точці

існують

обидві

односторонні

границі,

які є

скінченними,

тобто

lim

f

x

і

lim

f x A

, але

, або

A

A A

x x 0

0

A

f x0

.

Отже, в точці розриву першого роду порушується рівність (1.6).

Причому, якщо

A

f x0

,

то

точка

x0

називається

точкою

, то точка x0

називається точкою скінченного

усувного розриву. Якщо ж A

A

розриву, а величину

A

називають стрибком функції у точці розриву

першого роду (рис. 1.2).

Означення. Точка x0

називається точкою розриву другого роду функції

y f x , якщо хоча б одна з однобічних границь у цій точці не існує або

дорівнює нескінченності.

Приклад. Дослідити точок розриву:

а)	f x
	x

Розв’язання.

задані функції

1	;	б)
4

на

y

неперервність і визначити типи

cos x, x 0
x	.
3x 1, x 0

		1
	а) Функція	f x		є елементарною, яка за теоремою 3 неперервна
			x 4
у	кожній точці	її області визначення			D f ; 4 4; . У точці
x0	4 функція не визначена,			тому дослідимо цю точку на розрив. Для цього
знайдемо однобічні границі у цій точці.

11

lim	1	, lim	1	.
	x 4		x 4
x 4 0		x 4 0

Рис. 1.3

Отже точка

x	4
0

є точкою розриву другого роду функції

f x

(рис. 1.3), оскільки обидві однобічні границі дорівнюють нескінченності, хоча достатньо, щоб хоча б одна з них дорівнювала нескінченності. Крім того,

lim x

x

1

0 . 4

б) Функція

y x

складається з двох елементарних функцій, областю

визначення кожної з яких є множина всіх дійсних чисел, тому можливою точкою розриву є точка зміни завдання функції x0 0 . Дослідимо цю точку на

неперервність:

lim cos x 1,	lim 3x 1 1,
x 0	x 0

f

0 cos0

1

.

Обидві однобічні границі існують і скінчені, собою. Отже точка x0 0 є точкою розриву першого 1.4), а саме точкою скінченого розриву.

але не дорівнюють між роду функції y x (рис.

12

Рис. 1.4

x0y


Нехай функція		y f
a;b	придамо приріст
f x0 x f x0 .

Означення. Похідною

x	визначена на інтервалі			a;b . Аргументу
x	і	знайдемо	відповідний	приріст функції
функції		y f x	у точці x0 називається границя

відношення приросту функції до приросту аргументу, нуля, за умови, що ця границя існує.

коли останній прямує до

x
0		(2.1)
		(2.1)
x0	, то вона називається

диференційованою в цій точці, а операція знаходження похідної функції називається диференціюванням.

З’ясуємо геометричний зміст похідної функції (рис. 2.1).

13

Рис. 2.1.
Проведемо дотичну до графіку неперервної функції	y f x у точці	x0	,

у якій функція має похідну. Як відомо, рівняння прямої на площині можна

записати у вигляді	y kx b , де коефіцієнт k	дорівнює тангенсу кута нахилу
дотичної, тобто	k tg . Проведемо	через точки	M0 x0 ; y0	і
M x0 x; y0 y	пряму, яка є січною для графіку функції. Тоді тангенс кута
нахилу січної M	0 M дорівнює кутовому коефіцієнту рівняння січної та може

бути обчислений за формулою:

		k	c
			c
Якщо	x 0	, то приріст

tg	y	.
	x

функції y

(2.2)

також прямує до нуля завдяки

неперервності функції. Отже точка M			необмежено наближується до точки				M 0	,
а січна M 0 M	переходить	у дотичну та кут .				Таким чином, кутовий
коефіцієнт дотичної у т. M 0		дорівнює похідній функції				y f x у точці x0	:
	k tg lim		y		x0 .	(2.3)

			x	y
		x 0	x

З’ясуємо економічний зміст похідної функції.
1. Нехай	підприємство виробляє однорідну продукцію. Тоді витрати
підприємства є	функцією обсягу виробництва	y f (x) . Якщо кількість

продукції

y f x

змінилась

x f x .

на	x , то витрати

Отже, відношення y

x

		виробництва зміняться на
		f x x f x	– середній
		x

приріст витрат виробництва на одиницю продукції. Якщо в цій рівності перейти до границі при x 0

y lim	f x x f x	, (2.4)
	x
x 0

то отримаємо граничні витрати виробництва при заданому обсязі виробництва

x

.

2. Розглянемо залежність собівартості виробленої продукції від її обсягу. Тоді гранична собівартість характеризує відношення приросту собівартості до приросту обсягу продукції при малій зміні останнього.

Як бачимо, граничні величини характеризують процес зміни економічного об’єкту. Отже, похідна – це швидкість перебігу деякого економічного процесу у часі або відносно іншого досліджуваного фактору.

Застосування диференціального числення до дослідження економічних об’єктів та процесів на основі граничних величин отримало назву граничного (маржинального) аналізу. Суть маржинального аналізу полягає в аналізі

14

співвідношення обсягу продажів (випуску продукції), собівартості та прибутку на основі прогнозування рівня цих величин при заданих обмеженнях.

Нехай інтервалі a;b

функції

.

u u x

і

v

v x

є диференційованими на деякому

1. Похідна суми (різниці) цих функцій:

двох функцій дорівнює сумі (різниці) похідних

			(2.5)
u v	u	v	(2.5)

2. Похідна добутку двох функцій функції на незмінну другу плюс добуток першу:

	u v
u v

дорівнює добутку похідної першої похідної другої функції на незміну

	(2.6)
u v

3. Сталий множник

C

можна виносити за знак похідної:

C u

(2.7)

4. Похідна частки двох функцій дорівнює:

u v uv

u

(2.8)

v

2

v

5.

Нехай

функція

u g x

диференційована

у точці

x0 , а

функція

y f u

диференційована

у

точці

u0

g x0

,

тоді

складна

функція

y f g x диференційована у точці

x0

і

x0

.

(2.9)

y x0 f

u0 g

6.

Якщо

функція

y f

x

строго

монотонна, диференційована та

f x 0

на

інтервалі

a;b , то

обернена

функція

x g y

також

диференційована, причому

1

або

y

1

(2.10)

xy

y

g

f x

x

Використовуючи означення та властивості похідної можна отримати наступну таблицю похідних для таких функцій.

1.

	0,
C

C

const

,

2.

x			x	1	,

const

,

x

1

a

e

3.

a

ln a,

e ,

4.

loga x

,

ln x

,

x ln a

x

5.

sin x cos x ,

6.

cos x sin x ,

15

Якщо функція y f x

має похідну в точці