Документ: Лекція № 5. Матем. аналіз (1), страницы 6-10

lim u x A, x x0

1. Границя суми (різниці) функцій

lim v

x x0 u x

x і v

Bx

.

дорівнює сумі (різниці) їх

границь

lim u x v x

x x0

2. Границя від добутку функцій

lim

x x0 u x

u x

і

v

x

lim v x

x x0

дорівнює добутку границь

від функцій-множників	u x v x lim u x lim v x .
lim	u x v x lim u x lim v x .
x x		x x	x x
0		0	0
Наслідок. Сталий множник можна виносити за знак границі
	lim c u x c lim u x .
	x x		x x
	0		0
Зауваження. Властивості 1 і 2 справджуються для скінченного числа
функцій.		u x і	v x дорівнює частці границь цих
3. Границя від частки функцій		u x і	v x дорівнює частці границь цих

функцій за умови, що границя знаменника не дорівнює нулю

4. Функція

lim x x0

y f x

u x	lim u x	lim v
u x	x x
v x	0
v x	lim v x	0
		x x
	x x
	0

має границю у точці

x x0

0		.

тоді та лише тоді, коли

існують обидві її однобічні границі						і		у цій	точці та їх значення
існують обидві її однобічні границі					A	і	A	у цій	точці та їх значення
дорівнюють між собою.
lim f x A lim		f x	lim		f	x A ,		( f (x0	0) f (x0 0) A ).
x x	x x 0		x x	0
0	0		0

При обчисленні границі необхідно у першу чергу спробувати підставити граничне значення x0 у функцію під знаком границі. Якщо при цьому

одержимо число А, то це число і є границею.

Приклад. Обчислити lim

2x

3

x

2

5 .

x 2

Розв’язання.

lim

2x3 x2

5

lim 2x3

lim x2 lim5 2

lim x

3

lim x

2

5

x 2

2 8 4 5 17

5. Нескінченно великі та нескінченно малі функції.

Нехай функція

y f x

визначена

в деякому околі точки

x0 , крім,

можливо самої точки x0 .

6

x 0

		Означення. Функція		y f x	називається нескінченно великою при
x0		, якщо	M 0 M 0		таке, що x , яке вдовольняє нерівності
	x x0		, виконується нерівність		f x M .

		Це записується так:		lim f x .
				x x0

		1
Наприклад,		функція y		є нескінченно великою у точці		x0
Наприклад,		функція y	x 4	є нескінченно великою у точці		x0
оскільки lim	1	.

	x 4
x 4	x 4
Аналогічно означаються границі lim f x та					lim f x
				x x0 0	x x0 0

.

4

,

Наприклад, lim	1	,	lim	1	.

x 0 0	x		x 0 0	x
Функція може бути нескінченно великою при
записується так: lim f x . Наприклад, lim x2						.
x					x

x

,

тоді це

	Означення. Функція				y
x x0	, якщо	lim f x 0 .
		x x
		0
	Функція		y f x	може
lim f x 0 .
x

f x

бути

називається нескінченно

нескінченно малою при

малою

x ,

при

тоді

Наприклад,

що	lim(x 2)		3	0	,

	x 2
lim	1	0 .

x x

Відмітимо нескінченно малих

функція y (x 2)3 є нескінченно малою при				x 2 , тому
а функція y	1	є нескінченно малою при	x , тому що
	x

декілька основних властивостей нескінченно великих і функцій.

1.Сума скінченого числа нескінченно малих функцій у т. x0 є

нескінченно мала функція у цій точці.

2.Сума скінченого числа нескінченно великих функцій одного знаку у т. x0 є нескінченно велика функція того ж знаку у цій точці.

3.Добуток двох нескінченно малих (великих) функцій у т. x0 є

нескінченно мала (великих) функція у цій точці.

4.Добуток нескінченно малої (великої) функції у т. x0 на функцію,

обмежену у т.	x				x	0 .
обмежену у т.	0 , є нескінченно малою (великою) функцією у т.					0 .
5. Якщо функція x – нескінченно мала у т. x0				і x		0 в деякому
проколотому околі цієї точки, то функція		1	є нескінченно великою у т. x0 ,

		x
		x

7

та навпаки, якщо функція

x

– нескінченно велика у т. x0 , тоді

1

є

x

нескінченно малою у т.

x0 .

Перераховані властивості легко запам’ятати, якщо використовувати

символічний запис, зв’язавши з

нескінченно малою функцією символ «0», з

нескінченно великою функцією – символ «

» а з обмеженою функцією –

символ «С»:

0 0 0,

0 C 0,

,

C ,

1

,

1

0 .

0

Два останні співвідношення між нескінченно малими та нескінченно

великими функціями часто використовуються при обчисленні границь.

x2 3x 2

02 3 0 2

2

Наприклад, lim

.

x 0

tgx

tg0

0

Нагадаємо, що 0 у виразі в дужках – це символ нескінченно малої функції.

6.Приклади обчислення границь. Поняття про невизначеності.

Розглянемо приклади функцій.

Приклад 1. Обчислити

обчислення


	x	2		5x 3
		2
lim	x		2	x 2
x 1			2
x 1

границь дробово-раціональних

.

Розв’язання.
Підставимо у дріб граничне значення	x0	1	, тоді за властивістю границі
частки отримаємо:


	x	2		5x 3	1 5 3	3
		2
lim	x		2	x 2	1 1 2	.
x 1			2			2
x 1						2

Приклад 2. Обчислити lim	2x2	5x 3	.
	x2	9x 8
x 1
Розв’язання.
Застосувати в цьому випадку теорему про границю частки не можна,
оскільки границя знаменника дорівнює 0 коли				x 1. Окрім того, границя

чисельника також дорівнює 0. У таких випадках кажуть про невизначеність

0

виду . Для її розкриття розкладемо чисельник і знаменник на множники, а

0

потім скоротимо спільний множник чисельника та знаменника.

8

2x

5x 3

0

2x 3

2 3

1

lim

2

lim

x 1

lim

.

2

9x 8

x 8

1 8

x

0

7

x 1

Отже, якщо границя

відношення

двох

многочленів

при

x x0

є

невизначеністю виду

0

, то для її розкриття потрібно чисельник і знаменник

0

розкласти на множники, серед яких обов’язково буде

множник ( x x0 ),

скоротити дріб на нього та перейти до границі при

x x0

. В деяких випадках

треба поділити чисельник і знаменник на двочлен

x x0 ,

а потім перейти до

границі при x x0 .

Якщо

границя

відношення

двох

многочленів

при x є

невизначеністю виду

, то для її розкриття потрібно поділити чисельник і

знаменник на

x

k

, де k

– найбільший степінь

x

усього дробу.

3x

3

7x 120

Приклад 3. Обчислити lim

.

5

2x

3

x

Розв’язання.

У цій границі маємо невизначеність

при x

. Для її розкриття

поділимо чисельник і знаменник на

x

3

:

									3			7				120							7				120
	3x		3	7x	120				3			x				x			lim 3				x		2			x	3
lim	3x			7x	120		lim					x		2		x	3		x				x					x
														2			3		x
				5 2x		3						5											5
						3
x							x								2				lim							2
x							x
												x	3											3
													3											3
																				x		x
																				x
оскільки при		x			кожен з дробів			7		,	120				,	5		прямує до нуля.
оскільки при		x			кожен з дробів			x2		,		x3			,	x3		прямує до нуля.
								x2				x3				x3
Отже, границя відношення двох многочленів при																					x :

3

2

,

Крім розглянутих невизначеностей						0	та	існують ще наступні:


						0
	0			0	. Розкриття невизначеності в цих випадках може
0 , , 0		, 1	,		. Розкриття невизначеності в цих випадках може

бути здійснено шляхом тотожних перетворень функції, від якої знаходиться границя, а також за допомогою так званих важливих границь.

9

7. Неперервність функцій. Класифікація точок розриву.

Нехай функція y f Означення. Функція існує границя цієї функції

точці, тобто

x	визначена в точці	x0 та деякому її околі.
y f x називається неперервною у точці x0			, якщо
при	x x0 , яка дорівнює значенню функції в цій
	lim f x f x0 .	(1.4)
	x x
	0

Оскільки	lim x x0	, тоді останню рівність можна записати у вигляді
	x x			0
	0			0
	0
		lim f x f	lim x	f x . (1.5)
		x x	x x
		0	0
Це означає, що при знаходженні границі від неперервної функції f x

можна перейти до границі під знаком функції, тобто у функцію

f x

замість

аргументу	x	підставити його	граничне значення	x0 . Цей факт уже
застосовували в п. 4.
Враховуючи 4-ту властивість границь (п. 4), можна сказати, що функція
y f x буде неперервною у точці x0 , якщо існують скінченні односторонні
границі цієї функції при x x0 ,			які рівні між собою та дорівнюють значенню
функції в цій точці, тобто

a;

без


f (x0 0) f (x0 ) f (x0		0) або	A	A		f x0	.	(1.6)

Означення. Функція	y f x	називається			неперервною			на інтервалі
b , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Сформулюємо декілька теорем про неперервні функції, які приймемо доведення.

Теорема 1. Сума, добуток і частка двох неперервних у точці x0 функцій

є неперервною функцією (для частки за виключенням тих значень аргументу, за

яких знаменник дорівнює нулю).

Теорема 2. Нехай функція u g x неперервна у т. x0 , а функція

y f u

неперервна у т.

неперервна у т. x0 . Теорема 3. Будь-яка

своєї області визначення.

0	0	, тоді складна функція
u	g x	, тоді складна функція	y f		g		x

елементарна функція неперервна у кожній точці

10

Материал: Лекція № 5. Матем. аналіз (1)

5. Нескінченно великі та нескінченно малі функції.

7. Неперервність функцій. Класифікація точок розриву.

Смотрите также: