Материал: Лекция №11 2-я редакция

11. Лекция № 11

11.1. Нелинейные уравнения установившегося режима

Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников тока [3]. В схеме замещения электрической системы соответствует генераторы с постоянной мощностью либо нагрузки потребителей, заданной статической характеристикой или постоянной мощностью. Постоянная мощность потребителя или генератора задается в виде узлового тока:

, (11.1)

где - постоянная мощность трех фаз k-го узла;

- сопряженный комплекс межфазного напряжения k-го узла;

- нелинейный источник тока, зависящий от напряжения.

Если мощность нагрузки потребителя заданны статической характеристикой, то нелинейные источники тока определяются следующим выражением:

(11.2)

где - статическая характеристика активной и реактивной нагрузок k-го узла.

Нелинейные уравнения узловых напряжений при задании постоянной мощности нагрузки потребителей и генераторов в узлах системы переменного тока из четырех узлов запишем в виде:

(11.3)

В матричной форме уравнения узловых напряжений имеет вид:

, (11.4)

где - комплексная матрица собственных и узловых проводимостей;

- вектор-столбец задающих токов;

- вектор-столбец, k-й элемент которого равен ;

- заданное напряжение балансирующего узла.

Каждое из записанных уравнений (11.3) соответствует балансу комплекса тока в узле. Поэтому будем называть(11.3) и (11.4) уравнениями узловых напряжений в форме баланса токов. Система трех комплексных уравнений узловых напряжений (11.4) может быть заменена системой из шести действительных уравнений.

Три действительных уравнения соответствуют балансу вещественных составляющих токов в узлах, а три - балансу мнимых составляющих.

Уравнения (11.3) записаны для трех независимых узлов, в каждом из которых заданы Р и Q нагрузки. В систему (11.3) не входит уравнение балансирующего (четвертого) узла.

Часто используются уравнения узловых напряжений в форме баланса мощности, которые можно получить, если каждое уравнение баланса токов (11.3) умножить на сопряженный комплекс напряжения соответствующего узла. Узловые уравнения баланса мощности для системы переменного тока из четырех узлов можно записать следую­щим образом:

(11.5)

Систему (11.5) можно записать в матричной форме следующим образом:

(11.6)

где и - диагональная матрица, k-й диагональный элемент которой равен сопряженному комплексу напряжения k-гo узла;

- вектор-столбец сопряженных мощностей в узлах, k-й элемент которого равен заданной сопряженной мощности k-го узла.

Нелинейные уравнения установившегося режима в самой общей форме можно записать в виде системы неявных функций:

(11.7)

где W - вектор-функция;

X и Y - вектор-столбцы зависимых и независимых параметров режима.

Эти уравнения связывают между собой параметры установившегося режима электрической системы. Часть параметров режима задана (независимые переменные). Обозначим вектор-столбец независимых переменных при расчете установившегося режима Y. Остальные (зависимые) переменные могут быть найдены из уравнений установившегося режима. Обозначим вектор-столбец зависимых переменных X. Число зависимых переменных X равно числу уравнений установившегося режима. Это означает, что вектор-функция W и вектор-столбец Х имеют одинаковый порядок. В зависимости от постановки задачи и способа задания исходных, данных в состав векторов независимых и зависимых переменных Y и X могут входить разные параметры режима.[3]

Разделение параметров режима на зависимые и независимые переменные - играет важную роль при оптимизации режимов, при определении предельных по статической апериодической устойчивости режимов и при исследовании существования и единственности решения уравнений установившегося режима.

При расчетах установившегося режима вектор независимых переменных задан, то есть . Нелинейную систему уравнений установившегося режима можно записать в следующем виде, вытекающем из (11.7) при :

(11.8)

Число уравнений в этой системе равно числу зависимых, переменных х, т. е. равно порядку вектора X. В результате решения уравнений установившегося режима (11.8) можно найти все зависимые переменные Х.

11.2. Применение метода Гаусса и матрицы для решения уравнений узловых напряжений.

Метод Гаусса при расчете нелинейных уравнений узловых напряжений можно использовать на каждом шаге итерационного процесса, считая систему нелинейных уравнений узловых напряжений линейной на данном шаге.[3] 3дадимся начальными приближениями узловых напряжений, т. е. зададимся начальным приближением вектора-столбца переменных . Определим правые части в нелинейной системе уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (11,1) или (11.2), т. е. вычислим элементы вектор-столбца при :

. (11.9)

Токи в узлах постоянны и определяются начальными приближениями узловых напряжений. Тогда уравнения узловых напряжений (11.3) превращаются в систему линейных алгебраических уравнений с правыми частями, вычисляемыми из (11.9):

(11.10)

В матричной форме линейную систему (11.10) можно записать следующим образом:

. (11.11)

Решая систему (11,11) определяем первое приближение напряжений узлов Далее переходим, ко второму шагу, то есть определяем правые части (11.3) при значениях узловых напряжений, равных их первым приближениям:

. (11.12)

Затем найдем второе приближение узловых напряжений, решая линейную систему с той же матрицей и так далее до тех пор, пока процесс не сойдется:

. (11.13)

, (11.14)

где i – номер шага.

Для решения линейной системы уравнений узловых напряжений (11.14) на каждом шаге итерационного процесса целесообразно использовать метод исключения по Гауссу. В этом случае система комплексных уравнений заменяется на действительную, аналогичную (11.14). Для эффективного решения линейных уравнений установившегося режима по Гауссу необходимо учитывать слабую заполненность матрицы узловых проводимостей.

Матрица может использоваться для решения на каждом шаге итерационного процесса линейных алгебраических уравнений (11.4). Напомним, что матрица собственных и взаимных сопротивлений узлов обратная по отношению к матрице узловых проводимостей, то есть:

. (11.15)

На каждом шаге итерационного процесса узловые напряжения определяются по выражению:

, (11.16)

где - вектор-столбец, каждый элемент которого равен напряжению балансирующего узла;

-вектор-столбец задающих токов, определяемых на (I+1)-м приближении узловых напряжений, при этом k-й элемент вектор-столбца равен

Основное достоинство расчета установившегося режима с помощью узловых сопротивлений это быстрая сходимость. Однако существенным недостатком этого метода является необходимость определять и, главное, запоминать матрицу , в которой нет нулевых элементов.

Расчет установившегося режима с помощью собственных и взаимных сопротивлений может оказаться эффективным в тех случаях, когда он проводится для одной и той же системы очень большое количество раз. Кроме того, применение матрицы эффективно для расчетов установившихся режимов электрических систем - с тяговой нагрузкой, а также в расчетах токов короткого замыкания.

Основное преимущество применения на каждом шаге итерационного процесса метода Гаусса перед использованием обратной матрицы состоит в повышении эффективности расчета за счет учета слабой заполненности матрицы . Поэтому применение этого итерационного процесса предпочтительнее использования матрицы .

Решение на каждом шаге линейной системы уравнений узловых напряжений по методу Гаусса не нашло применения в расчетах установившихся режимов, поскольку такой способ не имеет никаких преимуществ по сравнению с расчетом установившегося режима по методу Ньютона.

11.3. Применение метода Зейделя для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Метод Зейделя и простая итерация могут применяться для решения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (11.2) Напряжения к-го узла определяется следующим выражением [3]:

,(11.17)

где - нелинейная функция, определяющая итерационный процесс.

Вектор-столбец узловых напряжений по методу простой итерации определяется:

. (11.18)

Метод Зейделя отличается тем, что найденное приближение узлового напряжения сразу же используется для определения напряжений других узлов. Итерационный процесс Зейделя определяется выражением, аналогичным (11.17):

, (11.19)

где - нелинейная функция, описывающая итерационный процесс Зейделя.

При решении уравнений установившегося режима на ЭВМ обычно используется метод Зейделя как обладающий более надежной и быстрой сходимостью, чем простая итерация. В расчетах на ЭВМ система комплексных уравнений узловых напряжений (11.19) заменяется действительной системой. Соответственно по методу Зейделя определяются вещественные и мнимые составляющие напряжений узлов, то есть:

(11.19)

где минимальная действительная части нелинейной функции , списывающей итерационный процесс Зейделя.

Сходимость метода Зейделя к решению нелинейных уравнений установившихся режимов медленная. В значительной степени это связано с особенностями матрицы собственных и взаимных проводимостей узлов, то есть со свойствами линейной системы узловых напряжений. Нелинейность уравнений установившегося режима существенно замедляет сходимость метода Зейделя и даже приводит к расходимости при близких и предельным.

В практических расчетах установившихся режимов на ЭВМ необходимо использовать ускорение сходимости метода Зейделя. Наибольшее распространение здесь получило применение ускоряющих коэффициентов.

Использование ускоряющих коэффициентов сводится к следующему. Обозначим значение напряжения k-ro узла. Ускоренное (i+1)-е приближение значение напряжения k-го узла определяется по формуле:

(11.21)

где - поправка по напряжению k–го узла на (i+1)–m шаге;