Материал: лекция 13 физика
различные моменты времени, |
|
а также средние значения различных |
||||||||
ее параметров. Найдем некоторые средние характеристики. |
||||||||||
|
Среднее значение функции |
координат частицы: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, здесь |
|
символ « * » указывает на комплексно сопряженную функцию. |
||||||||||
|
Среднее значение функции |
импульса: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Эти формулы принимают одинаковый вид, если проекции импульса представить операторами
,
4. Вид волновой функции зависит от типа частицы и от внеш-
них силовых полей, действующих на частицу. |
|
|
|
|||||||
Уравнение Шредингера. Физические |
ограничения |
на |
вид |
волновой |
||||||
|
|
|
|
функции. |
|
|
|
|||
Стационарное уравнение Шредингера, стационарные |
состояния. |
|||||||||
В 1926г |
Шредингер |
представил |
специальное |
дифференциальное |
||||||
уравнение, |
называемое |
уравнением Шредингера, |
которое |
является |
||||||
основным уравнением |
квантовой |
механики: |
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
|
|
(12.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
– оператор |
полной |
энергии, или оператор |
Гамильтона. |
||||||
Оператор Гамильтона определяется суммой операторов кинетической
энергии |
и |
силовой |
функции |
Н |
Т |
, |
(12.3) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
здесь |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- оператор |
Лапласа, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а |
= U (х, у, z, t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
(12.4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где m – |
|
масса частицы, i |
|
– мнимая единица, U |
– потенци- |
||||||||||||||
альная энергия частицы.
Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью v<< c. Уравнение дополняется следующими условиями:
1) Ψ – конечная, непрерывная, однородная,
2) |
|
|
|
|
|
|
|
– непрерывны, |
|
|
|
|
|||||
3) |
|
|
|
|
|
|
|
конечен. |
Это |
условие часто заменяют условием нормировки вероятности: |
|||||||
=1
Из уравнения Шредингера следует, что конкретный вид волновой функции зависит от потенциальной энергии U, т.е. определяется характером сил, действующих на частицу. Уравнение Шредингера оказалось комплексным (включающим в себя мнимую единицу), поэтому и волновая функция также комплексная, при этом реальный физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции, который всегда действителен.
Уравнение Шредингера может иметь множество решений.