Материал: Лекция 2.-

Существуют различные формулировки первого закона термодинамики:

1) невозможно ни возникновение, ни исчезновение энергии;

2) невозможно построить вечный двигатель первого рода, то есть двигатель, который совершает работу, не потребляя энергии (производит механическую энергию из ничего);

3) любая форма движения способна и вынуждена при определенных для каждого случая условиях превращаться, прямо или косвенно, в любую другую форму движения.

Аналитическое выражение первого закона

термодинамики для потока

В предыдущих главах рассматривались газы и пары, находящиеся в неподвижном состоянии (закрытые системы). Однако имеется достаточно много машин и аппаратов, в которых газ перемещается  например, паровые и газовые турбины, ракетные двигатели и другие (открытые системы).

Для 1 кг газа без внутренних источников работы, движущегося в неподвижном канале, уравнение первого закона термодинамики можно записать в виде , (5.1)

где l  работа против внешних сил (работа проталкивания газа по каналу);  изменение внешней кинетической энергии 1 кг газа в потоке  располагаемая работа.

Если поток совершает полезную техническую работу l_т, уравнение первого закона термодинамики будет иметь вид

. (5.2)

В этом случае располагаемая работа . Последнее уравнение справедливо как для обратимых, так и для необратимых процессов.

2.3. Теплоемкость газов

При проектировании тепловой аппаратуры нужно знать количество теплоты, участвующей в процессах, протекающих в этих аппаратах. Для расчета этой теплоты была введена специальная физическая характеристика вещества – теплоемкость.

Истинная теплоемкость – отношение элементарного количества теплоты в термодинамическом процессе к бесконечно малому изменению температуры в том же процессе:

. (2.8)

Для конечного процесса 1-2 вводится понятие средней теплоемкости как отношение полного количества теплоты к изменению температуры:

. (2.9)

В практических расчетах количество теплоты можно рассчитать, если известна удельная теплоемкость вещества, участвующего в данном процессе.

Удельная теплоемкость  это количество теплоты, которую нужно подвести к единице количества вещества для изменения его температуры на 1K  (1⁰С). Если в качестве единицы количества вещества берется единица массы 1 кг, теплоемкость называется массовой, обозначается – c, единица измерения  .

Если берется единица объема 1 м³ при нормальных условиях, теплоемкость называется объемной ( ), ее единица измерения 

Если берется единица количества вещества 1 моль, теплоемкость называется мольной, обозначается µс, ее единица измерения  .

Соотношение между указанными теплоемкостями может быть выражено следующими зависимостями:

,

где _ну – плотность газа при нормальных условиях.

Учитывая, что теплота является функцией процесса, можно предположить, что и теплоемкость также будет являться функцией процесса. Проанализируем ее поведение при некоторых частных случаях процессов. В качестве таковых при анализе чаще всего используются процессы, в которых остается постоянным один из основных параметров состояния: v, p и T.

Процесс при v = const (изохорный): .

Используя аналитическое выражение первого закона термодинамики (2.5) применительно к рассмативаемому изохорному процессу, получим . Тогда учитывая, что внутренняя энергия является функцией состояния, получим рабочую формулу для расчета изменения внутренней энергии:

. (2.10)

Процесс при р = const (изобарный): .

Используя другое аналитическое выражение первого закона термодинамики (2.7) применительно к рассмативаемому изобарному процессу, получим , тогда учитывая, что энтальпия является функцией состояния, получим рабочую формулу для расчета изменения энтальпии:

Проведенный анализ частных случаев процессов подтверждает, что теплота является функцией процесса, то есть количество теплоты будет зависеть от характера изменения состояния рабочего тела.

Проанализируем возможную связь между изохорной и изобарной теплоемкостями. Для этого запишем выражение (2.6) в дифференциальном виде: .

Используя полученные выражения (2.10), (2.11) и (1.9), получим

. После преобазований получим выражения:

, (2.12)

Или , (2.12’)

назывваемые уравнением Майера.

О

Рис. 2.4. График зависимости

теплоемкости от температуры

Теплоемкость идеальных газов от давления не зависит: c =  (t). Иногда влиянием давления пренебрегают и для реальных газов (но не всегда). Зависимость c =  (t) показана на рис. 2.4. Так как теплоемкость зависит от параметров состояния, особенно от температуры, для определения истинной теплоемкости нужно взять отношение не конечных q и t, а бесконечно малых величин, то есть истинная теплоемкость записывается в виде

. (2.13)

Пользуясь формулой (2.13), можно определить количество теплоты q, подведенное к телу при изменении его температуры от t₁ до t₂:

(2.14)

Для решения уравнения (2.14) нужно знать функцию с = f (t) для данного газа и произвести интегрирование в интервале от t₁ до t₂. Для упрощения расчетов воспользуемся понятием средней теплоемкости. Заштрихованная площадь 12t₂t₁1 (рис. 2.4) описывается правой частью выражения (2.14) и соответствует количеству теплоты q.

Если заменить эту площадь равновеликой площадью прямоугольника высотой , то можно записать:

,где  средняя теплоемкость в интервале температур от t₁ до t₂.

Значением мы не располагаем, поэтому интеграл в уравнении (2.14) заменяем двумя интегралами:

что равнозначно определению площади 12t₂t₁1 как разницы между площадями а2t₂оа и а1t₁оа. Затем, заменив эти площади равновеликими площадями прямоугольников с высотами и , получаем , (2.15)

откуда для средней теплоемкости в интервале температур от t₁ до t₂ можно записать:

.

Значения средних теплоемкостей от 0 до температуры t представляются в виде таблиц термодинамических свойств веществ.

Определить теплоемкость методами термодинамики невозможно. Поэтому первоначально значение теплоемкости определяли только экспериментальным путем. Развитие науки о строении вещества позволило подойти к определению теплоемкости теоретически, используя методы молекулярно-кинетической теории и квантовой механики. Но пока эти методы не нашли широкого распространения либо из-за недостаточной точности полученных результатов, либо из-за сложности и трудоемкости.

Согласно молекулярно-кинетической теории теплоемкости энергия молекулы равномерно распределяется по степеням свободы. Для идеального газа , (2.16)

где n₁ – число степеней свободы. Элементарная теория теплоемкости не учитывает энергию внутримолекулярных колебаний, а исходит только из рассмотрения поступательного и вращательного видов движения молекул. Согласно этой теории одноатомная молекула обладает тремя степенями свободы, двухатомная (и любой другой атомности линейная молекула) – пятью, а трех- и многоатомная нелинейная молекула – семью степенями свободы.

Ниже приведены результаты расчёта по формуле (2.16) теплоемкостей с_v и c_p газов, состоящих соответственно из одно-, двух- и трехатомных молекул:

;

;

.

Результаты расчетов, полученные по формуле (2.16) для одноатомных газов, близки к действительным значениям.

Результаты для двухатомных газов существенно расходятся с действительными значениями (их можно использовать для ориентировочных расчетов).

Результаты для трехатомных газов нельзя применять даже для ориентировочных расчётов. Связано это с тем, что данная теория не учитывает энергию колебательного движения атомов внутри молекул и зависимость теплоемкости от температуры. Количество энергии, идущее на увеличение внутримолекулярных колебаний, и зависимость теплоемкости от температуры газа учитывает квантовая теория теплоемкости, согласно которой

^, где (здесь е –основание натурального логарифма); n₂ – число колебательных степеней свободы; – характеристическая температура колебательного движения:

^,

где h – постоянная Планка; k_Б – постоянная Больцмана; ν’ – частота колебания.

Важное значение в термодинамике имеет отношение с_p/с_v, обозначаемое как

, (2.17)

где к – показатель адиабаты. Величина к зависит от атомности газа и его значение можно определить, основываясь на рассмотренной выше молекулярно-кинетической теории. Если газ одноатомный, то к = 1,66, если газ двухатомный, то к = 1,40, если газ трехатомный, то к = 1,29. Показатель адиабаты также зависит и от температуры, но слабо, обычно принимают его для данного газа постоянным. Пользуясь этой величиной, можно из уравнения Майера получить некоторые часто применяемые зависимости.

Разделим обе части уравнения на с_v: или ,

откуда . (2.18)

Умножив обе части равенства (2.18) на , получим

. (2.19)