Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Лекция 9 февраля 2021 г.

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Обсудим сначала понятие площадь . Всем хорошо знакомо, что площадь прямоугольника со сторонами a è b равна ab. ×òî ýòî

означает? Если длины сторон мы измеряли в сантиметрах, то фактически это означает, что в прямоугольнике размещается ab êâàä-

ратиков со стороной 1см. Это число, конечно, может быть и не

целым, тогда там разместятся не целые квадратики, а какие-то их части.

А как быть с параллелограммом?

	B		a		B′

		h


A	C			A′ C′

Ðèñ. 1

Так как площади треугольников ABC è A′B′C′ равны, то все сводится к вычислению прямоугольника CBB′C′, а его площадь равна ah.

Теперь займемся вычислением площади треугольника.

ZpppppppppppppppppppppZ					pp	p
ph	ZZZ	a		pppp	pp
B		a			B′
		ZZZ	ppppppp
A		Cp
			p

Ðèñ. 2

Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABB′C. ßñíî,

что площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, а площадь параллелограмма мы умеем находить. Она равна ah. Поэтому площадь треугольника равна

12ah:

Тем самым можно найти площадь любой фигуры, которая может быть разбита на треугольники. Например, площадь трапеции.

	pp		p	b		AA
	B			b		C

		h ppppppp			ppppp		AA	ApA
					ppppp		ppp	ApA
								p
A				a				pD

Ðèñ. 3

Разбиваем трапецию ABCD на два треугольника ABC è BCD. Площадь каждого из них известна, поэтому получаем

ah2 + bh2 = a +2 bh:

А как быть с кругом. Здесь уже не обойтись без понятия предела. В круг радиуса R вписывается правильный n-угольник. Пло-

щадью круга называется предел площадей правильных вписанных n-угольников при n ! 1. Площадь каждого из треугольников,

на которые разбивается правильный вписанный n-угольник легко

посчитать

Sn = 12R2 sin 2n

(эта еще одна формула для площади треугольника, выражающая площадь через длину сторон и угол между ними, и которая непосредственно выводится из полученной нами выше). Вспоминая первый замечательный предел, получаем формулу для площади круга радиуса R

S = lim n12R2 sin 2n = R2:

Рассмотри теперь более общую ситуацию. Пусть задана функция y = f(x) > 0 на отрезке [a; b]. Множество точек между графиком

этой функции и осью Ox называется криволинейной трапецией.

Как вычислить площадь данной криволинейной трапеции. Давайте разобьем отрезок [a; b] íà n кусков точками a = x0 < x1 < : : : <

xn = b. В каждом куске [xk 1; xk] выберем точку k. Заменим кусок криволинейной трапеции между точками xk 1 è xk на прямоуголь- ник с основанием ∆xk = xk xk 1 и высотой f( k) (см. рис. 4). Площадь каждого такого прямоугольника равна f( k)∆xk. Поэто- му приближенное выражение для площади равно

e ∑n

S = f( k)∆xk:

k=1

y 6

y = f(x)

0 a 1 x1 2 x2 3 x3

xn 1 n b

Ðèñ. 4

На самом деле это и есть определение площади криволинейной трапеции (надо только уточнить, что понимается под пределом).

Рассмотрим еще одну задачу, приводящую к вычислению предела подобных сумм.

aq	1q	xq1 q	F (x)	xnq	1 qn bq
			2 xq2 q3 xq3 -			-

Ðèñ. 5

Предположим, что материальная точка перемещается из a â b по отрезку [a; b] под действием силы F (x), которая направлена параллельно отрезку [a; b], но значение которой, вообще говоря, ме-

няется от точки к точке. Требуется вычислить работу. Поступим следующим образом. Снова разобьем [a; b] íà n кусков точками

a = x0 < x1 < : : : < xn = b. В каждом куске [xk 1; xk] выберем точку k. Если считать, что на каждом маленьком отрезке сила мало меняется и приближенно равна силе в некоторой внутренней точке, то работа на каждом отрезке приближенно равна F ( k)∆xk. Поэтому приближенное выражение для работы равно

e ∑n

A = F ( k)∆xk:

k=1

Чем больше мы измельчаем рассматриваемый отрезок, тем точ- нее мы вычисляем работу. И снова мы приходим к необходимости вычислять предел суммы, подобной той, которая встретилась при вычислении площади криволинейной трапеции.

2. Определенный интеграл

Начнем с ряда определений.

Определение 1. Разбиением отрезка [a; b] будем называть систему точек a = x0 < x1 < : : : < xn = b и точек k 2 [xk 1; xk], k = 1; : : : ; n.

xq1 q2 xq2 q3 xq3

xnq

1 qn bq

Ðèñ. 6

Будем обозначать разбиения буквой T .

Определение 2. Диаметром разбиения T называется величина

d(T ) = max ∆xk; ∆xk = xk xk 1:

1 k n

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a; b], è T некоторое раз-

биение этого отрезка.
Определение 3. Интегральной суммой для разбиения T называ-
ется величина	∑k
	n
S(T ) =	f( k)∆xk:
	=1
Определение 4. Число I называется пределом интегральных
ñóìì S(T ) ïðè d(T ) ! 0
I =	lim S(T );

d(T )!0

если для любого " > 0 найдется > 0 такое, что при d(T ) < выполняется неравенство

jI S(T )j < ":

Определение 5. Пусть задана функция f(x) на отрезке [a; b]. Определенным интегралом от функции f(x) îò a äî b называется

	∑
b	n
f(x) dx	lim	f( )∆x		:
∫a	= d(T )!0 k=1	k	k

Теорема 1 (о существовании определенного интеграла) . Äëÿ ëþ-

бой функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], определенный ин- теграл ∫ab f(x) dx существует.

3. Свойства определенного интеграла

Далее считаем, что все встречающиеся функции непрерывны на отрезке [a; b], и, следовательно, соответствующие интегралы суще-

ствуют.	∫ a
1.

def

f(x) dx = 0:

2. Пусть a > b.

∫a

def

∫b

f(x) dx =

f(x) dx:

∫ab

1 dx = b

Доказательство.

∑

1 dx

lim

lim (b

a) = (b

a):

∫a

= d(T )!0 k=1

∆ k = d(T )!0

∫ab Cf(x) dx = C ∫ab f(x) dx:

Доказательство.

∑

Cf(x) dx

lim

Cf(

)∆x

∫a

= d(T )!0 k=1

∑

C lim

f( )∆x

= C

f(x) dx:

d(T )!0 k=1

∫a

∫ab(f(x) + g(x)) dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx:

Доказательство.

∑

∫a (

lim

(f( ) + g( ))∆x

(

) +

(

))

= d(T )!0 k=1

∑

∑k

lim

f( k)∆xk +

lim

g( k)∆xk

d(T )!0 k=1

d(T )!0

∫ab g(x) dx:

= ∫ab f(x) dx +

6. Пусть a < c < b. Тогда

∫ b ∫ c ∫ b

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния