Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

121

									y				6
									1				q											q		y = x3





									O					q									q1														-		x



									1				q										q			y =							p

																																				x
																	Ðèñ. 78
Имеем																												∫0					dx ∫ px (								5xy + 11x2y2) dy
∫∫D (	5xy + 11x2y2) dxdy =																											∫0					dx ∫ px (								5xy + 11x2y2) dy
	4	9																										1									x3				4					9
										∫						(
										∫						(																					)
															1		2											3											x3
						=				0							5		xy2 +										11				x2y3							p		dx
										0							5												11											p	x	dx
						1				2							3															2					3
		=	∫0				(					x7 +											x11											x2 +						x3px dx
		=										x7 +											x11											x2 +						x3px dx
										5							11															5					11						)		1
							1										1															2							2						1

																																									x9=2) 0
		= (									x8 +										x12														x3		+
		= (						20			x8 +							44			x12											15			x3		+	33
																	1															1					2				2					1					1
																					=							+											+				=						+			= 0:
																					=	20						+			44						15		+		33		=				12		+		12	= 0:
Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл
∫ (x2 + y) dx + (x								y2) dy;																	= [AB : y = 3 + x2; A(0; 3); B(2; 7):
Имеем																												(																								)
							2																					(																								)
∫ (x2+y) dx+(x y2) dy = ∫0 2																												x2				+ 3 + x2 + (x (3 + x2)2)2x dx
		= ∫0								(																				2													)
		= ∫0										3 18x + 4x2																							12x3						2x5			dx
		4															1																						32							64						266

= (3x	9x2 +			3	x3						3x4									3	x6) 0											= 6					36+				3		48					3		=		3	:
Задача 4. Найти d2z: z = √
Задача 4. Найти d2z: z = √																											3xy								y2.

122

Имеем

zx′

;

√

′

3xy

zy =

;

2√

3xy9y2y2

zxx′′

;

4(3xy

y2)3=2

zxy′′

(

y(3x

2y)

)

9xy

;

2(3xy

y2)3=2

4(3xy

y2)3=2

√

3xy

zyy′′

(3x 2y)2

9x2

√

4(3xy

y2)3=2

4(3xy

y2)3=2

3xy

Следовательно,

d2z = z′′ dx2 + 2z′′

dxdy + z′′ dy2 =

9 (y2dx2

2xydxdy + x2dy2)

4(3xy

y2)3=2

Задача 5. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

p
p	3	0		2			0
∫0		dx ∫p		2 f(x; y) dy + ∫p		dx ∫	p		f(x; y) dy:
∫0		dx ∫p	4 x2	2 f(x; y) dy + ∫p	3	dx ∫	p	4 x2

Нарисуем сначала область интегрирования.

y 6	p3q	2q -x
Oq	p3q	2q -x
1 q	q

Ðèñ. 79

Чтобы написать повторный интеграл в другом порядке, надо написать уравнение левой кривой и правой кривой. Левая кривая

часть окружности (y+2)2 +x2 = 4. Учитывая, что это правая часть

√

этой окружности, получаем x = 4 (y + 2)2. Правая кривая это часть окружности x2 + y2 = 4. Так как рассматриваемая часть

123

является правой частью окружности, x = 4 x2. Таким образом,

получаем		p

				2
	∫ 0	dy ∫p	4	x	f(x; y) dx:
	∫ 0	dy ∫p		(y+2)2	f(x; y) dx:
	1		4	(y+2)2

Задача 6. Найти точки экстремума функции z = 2x3 + 3y2 24x + 6y + 5. Указать тип экстремума.

Найдем стационарные точки

	zx′ = 6x2 24 = 0;
	zy′ = 6y + 6 = 0:
Таким образом, имеем две точки: (2; 1) è ( 2;		1). Посчитаем
производные второго порядка
	zxx′′ = 12x;
	zxy′′ = 0;
	zyy′′ = 6:
Äëÿ ∆ = zxx′′	zyy′′ (zxy′′ )2 получаем: ∆ > 0 в точке (2;	1) è ∆ < 0 â
точке ( 2;	1). Следовательно, в точке ( 2; 1) экстремума нет, а

в точке (2; 1) экстремум есть, причем там локальный максимум, т.к. zxx′′ > 0.

Задача 7. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
x2 + y2 = y; x2 + y2 = 4y; z = 3√x2 + y2; z = 0:
		z 6
AA		q12
	AAAA		4 -
		A	4 -
			y

x

Ðèñ. 80

Проекция тела на плоскость Oxy представляет собой круг с цен-

2	2	из которого вырезан
тром в точке (0; 2) радиуса 2: x + (y	2) 4,
		2	+ (y	1=2)	2	1=4.
круг с центром в точке (0; 1=2) радиуса 1=2: x

А само тело цилиндр с этим основанием и верхней поверхностью

124

√

конуса z = 3 x2 + y2. Для вычисления объема перейдем к цилин-

дрической системе координат. Тогда цилиндры, в основаниях которых лежат описанные выше круги, будут задаваться уравнениями

= sin φ; = 4 sin φ;

àконус уравнением z = 3 .

Имеем

dxdydz = ∫0

dφ

∫sin φ

d ∫0

jV j =

∫∫∫V

∫

4 sin φ

∫

4 sin φ

0 3

dφ

sin φ

3 2 d =

sin φ

dφ =

63 sin3 φ dφ

∫

(

)

(1 cos2 φ) d cos φ =

cos φ

cos3 φ

= 84:

Задача 8. а) Найти наибольшее и наименьшее значения

ôóíê-

öèè z = x2

y2 в круге x2 + y2 4.

Найдем стационарные точки

zx′ = 2x; zy′ = 2y:

Стационарная точка (0; 0). Далее,

∆ = zxx′′ zyy′′

(zxy′′ )2 = 4 < 0:

Тем самым экстремумов внутри круга нет. Исследуем функцию на границе круга. Зададим окружность параметрически

x = 2 cos t; y = 2 sin t:

Тогда

z = 4 cos 2t:

Следовательно, наибольшее значение 4 достигается в точках ( 2; 0), а наименьшее 4 в точках (0; 2).

б) Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 2xy 4x + 8y в прямоугольнике 0 x 1, 0 y 2.

Найдем стационарные точки

zx′ = 2x + 2y 4 = 0; zy′ = 2x + 8 = 0:

Стационарная точка ( 4; 6). Эта точка не принадлежит прямо-

угольнику. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на сторонах прямоугольника. При x = 0; 1 z линейная функция,

а линейная функция достигает наибольшего и наименьшего значе- ний на концах отрезка. При y = 0; 2 z параболы, но их вершины

125

находятся вне интервала (0; 1). Поэтому наибольшее и наименьшее

значения функции находятся в вершинах прямоугольника. Посчи- таем значения в вершинах

z(0; 0) = 0; z(1; 0) = 3; z(1; 2) = 17; z(0; 2) = 16:

Итак, наибольшее значение 17 достигается в точке (1; 2), а наименьшее 3 в точке (1; 0).

Задача 9. Вычислить тройной интеграл:

∫∫∫

x2y dxdydz;

по области V , если область ограничена поверхностями

x2 + y2 + z2 = 4; x = 0; y = 0; z = 0 (x 0; y 0; z 0):

Легко понять, что V шар радиуса 2, находящийся в первом октанте. Перейдем к сферической системе координат

x = r sin cos φ; y = r sin sin φ; z = r cos :

Тогда

∫∫∫

x2y dxdydz

∫0

dφ

(r sin cos φ)2r sin sin φr2 sin dr

= ∫0

=2 cos2 φ sin φ dφ ∫0

=2 sin4 d ∫0

2 r5 dr

cos 2 )2

∫0

cos2 φ d cos φ

∫0

8 cos3 φ

∫

(

1 +

cos 4

) =2

2 cos 2 +

sin 4

(

sin 2 +

) 0

Задача 10. Вычислить ∫

(x + 2y) dl;

ãäå L : x2 + y2 = 9y.

Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния