Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

116

Тогда имеет место равенство

I P dx+Q dy+R dz =

∫∫S

( @y

 

@z ) dydz+( @z

 

 

@x ) dxdz

 

 

 

@R

 

@Q

 

@P

 

 

@R

 

 

 

 

 

 

@Q

 

@P

 

 

 

 

+ (

 

 

 

 

) dxdy;

 

 

 

 

@x

@y

ãäå S произвольная поверхность из области Ω, натянутая на

контур , со стороной, согласованной с направлением обхода контура .

Формула Стокса является обобщением формулы Грина на пространственный случай. Действительно, если рассмотреть плоский случай (z = 0), то формула Стокса совпадет с формулой Грина.

78.

Ротор векторного поля

Определение 58.

Ротором (вихрем) векторного поля F =

(P; Q; R) называется векторное поле

 

 

 

 

 

 

 

 

@R

 

@Q @P

@R @Q

 

@P

rot F = (

 

 

 

;

 

 

 

;

 

 

 

):

@y

@z

@z

@x

@x

@y

Правило вычисление ротора можно записать в виде символиче- ского определителя третьего порядка, который надо вычислять, раскладывая определитель по первой строке

 

 

i

 

j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

@

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rot F =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

@y

 

@z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

Q

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@R

 

@Q

 

@R

 

@P

 

@Q

 

@P

 

 

 

=

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

j +

 

 

 

 

k:

 

 

@y

 

( @x

 

( @x

 

 

 

 

(

 

@z )

 

@z )

 

@y )

Используя понятие ротора и связь поверхностных интегралов I- го и II-го рода (38), формулу Стокса можно записать в следующем

âèäå

I

∫∫

F dl = (rot F )n ds:

S

Саму теорему коротко можно сформулировать так: циркуляция векторного поля вдоль кривой равна потоку ротора этого поля по любой поверхности, натянутой на эту кривую.

79. Формула Гаусса Остроградского. Дивергенция векторного поля

Теорема 43 (формула Гаусса Остроградского) . Пусть в некоторой пространственной области Ω заданы функции P , Q è R,

непрерывные вместе со своими частными производными. Пусть,

117

кроме того, задана замкнутая поверхность S 2 Ω с внешней сто-

роной. Тогда имеет место равенство

( @x

+ @y

+ @z ) dxdydz;

∫∫S P dydz + Q dxdz + R dxdy = ∫∫∫V

 

 

@P

 

@Q

 

@R

ãäå V объем, ограниченный поверхностью S.

Доказательство. Рассмотрим поверхность, нижняя часть которой задается уравнением z = z1(x; y), а верхняя z = z2(x; y) è (x; y) 2

D.

 

S2

z 6 n

 

 

 

 

z = z (x; y)

 

 

 

 

 

2

 

S

V

z = z1(x; y)

 

1

 

@n

 

 

 

 

 

R@

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

y

 

 

D

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 75

Докажем равенство

 

 

∫∫∫V

@z dxdydz:

 

 

 

 

∫∫S

R dxdy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@R

 

 

Перейдем в тройном интеграле к двойному и одинарному

 

 

∫∫∫V @z

dxdydz =

∫∫D dxdy

∫z1(x;y)

 

@z dz

 

 

 

@R

 

 

 

 

z2

(x;y) @R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

z2

(x;y)

∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D R(x; y; z2(x; y)) dxdy

 

=

D dxdyR(x; y; z) z1(x;y)=

 

 

 

 

 

∫∫D

 

 

 

 

 

∫∫S

 

 

 

 

 

 

 

R(x; y; z1(x; y)) dxdy =

R dxdy:

 

Аналогичным образом доказываются равенства

 

 

 

 

∫∫S

P dydz =

∫∫∫V

@x dxdydz;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@P

 

 

 

 

 

∫∫S

Q dxdz =

∫∫∫V

@y dxdydz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@Q

 

 

Сложив все три равенства, получаем утверждение теоремы.

 

Примеры. Рассмотрим примеры из п. 75

 

 

1. Вычислить

∫∫ (x + z) dxdy;

 

 

S

118

ãäå S полная поверхность пирамиды с вершинами в точках

(0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 1; 0) è (0; 0; 1).

z

6

 

 

 

 

1

@q

@

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

3@@

 

 

 

 

 

O

S

1

 

 

 

 

@q

 

-y

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 q

 

 

 

 

 

Ðèñ. 76

Применяя формулу Гаусса Остроградского, получаем

6:

∫∫S(x+z) dxdy =

∫∫∫V

@z

dxdydz = ∫∫∫V

dxdydz = jV j =

 

 

@(x + z)

 

 

1

2. Вычислить

 

∫∫

 

 

 

z dxdy;

S

ãäå S граница нижней половины шара радиуса R с центром в нуле.

 

 

 

6 z 6

 

 

 

 

 

-

 

 

 

O

R y

 

 

 

x

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ðèñ. 77

Применяя формулу Гаусса Остроградского, получаем

:

∫∫S z dxdy =

∫∫∫V @z dxdydz =

∫∫∫V

dxdydz = jV j = 3 R3

 

 

@z

 

 

2

 

Определение 59. Дивергенцией векторного поля F = (P; Q; R)

называется

 

 

@P

 

@Q

 

@R

 

 

 

div F =

+

+

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

@y

@z

 

119

Формулу Гаусса Остроградского можно записать в терминах ди-

вергенции векторного поля F следующим образом

∫∫ ∫∫∫

Fn ds = div F dxdydz:

SV

Читаться она будет так: поток векторного поля F через замкнутую поверхность S с внешней стороной равен тройному интегралу по области, ограниченной поверхностью S, от дивергенции этого поля.

120

Лекция 25 мая 2021 г.

80. Решения задач из 0-го варианта II-ой контрольной работы

Задача 1. а) Вычислить @x@z , @y@z , åñëè z = yexy.

Имеем

@z

= y2exy;

@z

= exy + yexyx = (1 + xy)exy:

 

 

@x

@y

б) Найти модуль градиента функции f(x; y) = ln(sin x + 2xy) в точке ( =2; 0).

 

 

 

cos x + 2y

 

2x

grad f(x; y) = (fx′

; fy′ ) = (

 

;

 

):

sin x + 2xy

sin x + 2xy

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

grad f(x; y) ( =2;0) = (0; ):

 

 

 

 

 

 

 

в) Составить уравнени

е касательной

плоскости и нормали к по-

 

grad f(x; y) ( =2;0)

= :

 

 

Уравнение

√

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z0 = fx′ (x x0) +

верхности z = 2x2 + y2 + xy в точке (2; 1; 5).

 

 

 

 

 

 

касательной плоскости имеет вид

 

 

 

 

fy′ (y y0), ãäå (x0; y0; z0) = (2; 1; 5). Имеем

 

 

 

 

 

 

f′ =

 

2x

+ y =

7

; f′ =

 

y

 

+ x =

7

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение

 

√

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

√

 

 

 

 

 

 

x

 

 

2x2 + y2

 

 

3

 

 

 

 

 

2x2 + y2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

касательной плоскости:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 5 =

7

(x 2) +

7

 

(y 1):

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение нормали имеет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

=

y y0

 

=

z z0

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fx′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fy′

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

В рассматриваемом случае уравнение нормали:

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

=

y 1

 

= z

5:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2. Вычислить двойной интеграл от функции f(x; y) =

 

4

xy +

9

x2y2

по области, ограниченной линиями x = 1, y = x3,

5

 

 

 

11

 

y =

px.

 
Источник: https://studfile.net/preview/16464738/

Смотрите также:

_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Исламское государство': причины возникновения, тенденции развития, технологии противостояния