Материал: ЛК Осипенко КЮ - весна 2021 (1 сем)
6
y 6
y = f(x)
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 a |
c |
|
b |
x |
||||
Ðèñ. 7
Доказательство. Добавим в каждом разбиении T точку c â ñè-
стему точек fxkg (если ее не было в исходном разбиении). Новое разбиение обозначим через T ′. Очевидно, что диаметр разбиения
при этом не увеличится d(T ) d(T ′). Поэтому
∫ b
a
|
∑k |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
f(x) dx = lim |
f( k)∆xk = lim |
|
f( k)∆xk |
||||||
d(T )!0 |
=1 |
|
|
|
|
d(T ′)!0 k=1 |
|
||
|
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
lim |
|
f |
|
x |
|
|
f |
|
x |
= d(T ′)!0(k=1 |
( |
k)∆ |
|
k + k=n1+1 |
( |
k)∆ k) |
|||
∑ |
|
|
|
|
k=∑1 |
|
|||
n1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
= lim |
f( k)∆xk + |
lim |
|
|
f( k)∆xk |
||||
d(T ′)!0 k=1 |
|
|
|
|
d(T ′)!0 |
n +1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
c f(x) dx + ∫ b f(x) dx: |
||
a |
c |
|
|
7. Для любого расположения точек a, b è c |
|
∫ b ∫ c ∫ b
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx:
a a c
Доказательство. Пусть, например, c < a < b.
cq |
aq |
|
Ðèñ. 8 |
bq |
- |
Тогда по доказанному в предыдущем пункте |
|||||
∫ |
b f(x) dx = |
∫ |
a f(x) dx + |
∫ |
b f(x) dx: |
c |
c |
a |
|
7 |
Отсюда |
∫c a f(x) dx + ∫c b f(x) dx = ∫ac f(x) dx + ∫c b f(x) dx: |
∫ab f(x) dx = |
|
|
|
8.Åñëè f(x) 0 ïðè x 2 [a; b], òî
∫b
f(x) dx 0:
a
Доказательство.
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
|
f |
|
x |
|
dx |
lim |
f( )∆x |
: |
|
∫a |
( |
|
) |
|
= d(T )!0 k=1 |
k |
k |
|
Òàê êàê f( k) 0 è ∆xk 0, òî
∑n
f( k)∆xk 0
k=1
для любого разбиения T . Поэтому и ее предел неотрицательный.
9. Åñëè f(x) g(x) ïðè x 2 [a; b], òî
∫ b ∫ b
f(x) dx g(x) dx:
aa
Доказательство. Так как f(x) |
g(x) 0, то из предыдущего пунк- |
||
та следует, что |
∫ab(f(x) |
|
|
Следовательно, |
g(x)) dx 0: |
||
∫ b f(x) dx |
∫ b g(x) dx 0: |
||
|
|||
|
a |
a |
|
|
|
|
|
10. Åñëè m f(x) M ïðè x 2 [a; b], òî
∫ b
m(b a) f(x) dx M(b a):
a
Доказательство. Из предыдущего пункта получаем
∫ b ∫ b ∫ b
m dx f(x) dx M dx:
a a a
Из свойств 4 и 3 следует, что
∫ b ∫ b
m dx = m 1 dx = m(b a):
aa
8
Аналогично ∫ b |
∫ b |
|
M dx = M 1 dx = M(b a): |
a |
a |
|
|
11. |
|
Теорема 2 (теорема о среднем). Пусть функция f(x) непрерывна
на отрезке [a; b]. Тогда найдется точка 2 [a; b] такая, что
∫ b
f(x) dx = f( )(b a):
a
y 6
y = f(x)
|
|
|
|
|
|
- |
|
0 a |
|
b |
x |
||||
Ðèñ. 9
Доказательство. Непрерывная функция на отрезке достигает своего минимального значения m и своего максимального значения M.
Тем самым m f(x) M ïðè x 2 [a; b]. Следовательно, из свой-
ñòâà 10 |
∫ab f(x) dx M(b a): |
m(b a) |
Отсюда |
∫ab f(x) dx M: |
m b 1 a |
Но непрерывная функция принимает все свои значения между минимальным и максимальном. Значит, существует такая точка2 [a; b], для которой
1 ∫ b
f( ) = b a a f(x) dx:
Умножив обе части на b a, получаем доказываемое равенство.
9
Лекция 16 февраля 2021 г.
4. Дифференцирование интеграла по верхнему пределу
Рассмотрим функцию f(t), непрерывную на отрезке [a; b].
q q q -
a x b t
|
Ðèñ. 10 |
|
|
|
Положим |
(x) = ∫ax f(t) dt: |
|
||
Найдем ′(x). Имеем |
|
|
||
|
′(x) = lim |
(x + ∆x) (x) |
: |
|
|
|
|||
|
∆x!0 |
∆x |
|
|
Вычислим выражение в числителе |
|
|
||
(x + ∆x) (x) = ∫ax+∆x f(t) dt |
∫ax f(t) dt |
|
||
= ∫ax f(t) dt + ∫xx+∆x f(t) dt |
∫ax f(t) d = ∫xx+∆x f(t) dt: |
|||
По теореме о среднем найдется такая точка 2 [x; x + ∆x], äëÿ
которой ∫ x+∆x
f(t) dt = f( )∆x:
x
Таким образом,
′(x) = lim |
f( )∆x |
= |
lim f( ): |
|
|||
∆x!0 |
∆x |
∆x!0 |
|
Из непрерывности функции f(t) вытекает, что |
|||
lim |
f( ) = f(x): |
||
∆x!0 |
|
|
|
Следовательно, ′(x) = f(x). |
|
|
|
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 3 (о дифференцировании интеграла по верхнему пределу). Если функция f(t) непрерывна на отрезке [a; b], òî
(∫ x )′
f(t) dt = f(x):
a
Иными словами, мы доказали, что (x) является первообразной для f(x). Отсюда вытекает, что у каждой непрерывной функции есть первообразная.
10
5. Основная формула интегрального исчисления. Формула Ньютона Лейбница
Пусть функция f(t) непрерывна на отрезке [a; b]. Мы выяснили, что ∫ x
(x) = f(t) dt
a
является первообразной для f(x). Пусть F (x) какая-то другая первообразная f(x). Тогда они могут отличаться только на посто-
янную. Тем самым |
∫ x |
|
f(t) dt = F (x) + C
a
äëÿ âñåõ x 2 [a; b]. Подставив в это равенство x = a, получаем
0 = F (a) + C:
Следовательно, C = ∫ Fx (a). Итак, мы получили равенство f(t) dt = F (x) F (a):
a
Подставим x = b
∫ b
f(t) dt = F (b) F (a):
a
Эта формула называется формулой Ньютона Лейбница и является основной формулой интегрального исчисления. Часто ее записывают в следующем виде
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
ab f(t) dt = F (t) a: |
||||
|
|
∫ |
|
|
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
0 |
sin t dt = |
|
|
= cos |
|
|
cos t 0 |
( cos 0) = 1 + 1 = 2: |
|||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y = sin t |
|
|
|
|
|
0 |
|
t |
Ðèñ. 11