Материал: Математический анализ шпаргалка
17. Возрастание и убывание функции
функция
y = f (x) называется возрастающей на отрезке
[a, b], если для любой пары точек х и х', а
≤ х < х' ≤ b выполняется неравенство
f (x) ≤ f (x'), и строго возрастающей — если
выполняется неравенство f (x) < f (x').
Аналогично определяется убывание и
строгое убывание функции. Например,
функция у = х2 (рис., а) строго возрастает
на отрезке [0,1], а
(рис., б) строго убывает на этом отрезке. Возрастающие функции обозначаются f (x)↑, а убывающие f (x)↓. Для того чтобы дифференцируемая функция f (x) была возрастающей на отрезке [а, b], необходимо и достаточно, чтобы её производная f'(x) была неотрицательной на [а, b].
Наряду с возрастанием и убыванием функции на отрезке рассматривают возрастание и убывание функции в точке. Функция у = f (x) называется возрастающей в точке x0, если найдётся такой интервал (α, β), содержащий точку x0, что для любой точки х из (α, β), х> x0, выполняется неравенство f (x0) ≤ f (x), и для любой точки х из (α, β), х< x0, выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0). Аналогично определяется строгое возрастание функции в точке x0. Если f'(x0) > 0, то функция f (x) строго возрастает в точке x0. Если f (x) возрастает в каждой точке интервала (a, b), то она возрастает на этом интервале.
18.Экстремумы функции
1)
Пусть
задана на
.
Если
- внутренняя точка обл определения
функции, то в этой точке функция имеет
максимум (минимум) если
Этот максимум (минимум) будет строгим, если неравенства строгие.
Замечание:
Точки экстремума (макс., мин.) по определению рассматриваются лишь во внутренних точках, в литературе иногда говорят о краевых экстремумах
2) Необходимый признак экстремума
Теорема:
Если функция имеет в точке экстремум, то производная в этой точке либо равна нулю либо не существует
Доказательство:
Пусть существует
,
если в точке
- максимум, то для достаточно малой
окрестности
имеет наибольшее значение в этой
окрестности, по теореме Ферма
Согласно теореме точки экстремума могут быть лишь в тех внутренних точках, где производная не существует или равна нулю. Такие точки называются подозрительными на экстремум. Точки в которых производная равна нулю называются стационарными.
Не во всякой подозрительной на экстремум точке есть экстремум.
3) Достаточные признаки эктремума
Теорема 1 (первый достаточный признак экстремума):
Пусть
- внутренняя точка обл определения
и
непрерывна в
,
тогда:
1. Если при переходе
через
,
меняет знак с плюса на минус (т.е.
),
то в
- строгий максимум;
2. Если при переходе
через
,
меняет знак с минуса на плюс, то в
- строгий минимум;
3. Если при переходе через , не меняет знак, то экстремума в нет, т.е. функция в монотонна.
Требование непрерывности в упускать нельзя, т.к. в этом случае утверждение может оказаться несправедливым.
При разыскивании экстремумов, исследование знака производной вблизи исследуемой точки можно заменить исследованием знака второй производной вблизи самой этой точки.
19. Определение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.
Пусть задана ф-я z=f(x,y) в замкнутой области Д.
F(x,y)=0 уравнение границы Д.
Требуется найти наибольшее и наименьшее значения ф-ции в этой области.
Эти значения функция может достигать либо в экстремальных точках внутри области, либо на границе области, поэтому решение задачи делится на 2 этапа:
1.Сначала находим стационарные точки внутри области. В этих тосках возможны экстремумы. Вычисляем зачение заданной функции в этой точке.
2.Определяем наиб. и наим. Значение функции на границе области.
3.Сравниваем полученное значение и выбираем наиб. и наим. знач.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения на границе области д.
Пусть граница области имеет уравнение F(x,y)=0 y=y(x) на гр. обл. Д
z=f(x,y) = f[x,y(x)]=z(x) является сложной функцией.
Необходимо найти min и max z(x) на границе. Для этого надо найти экстремумы внутри области (достаточно найти точки, где возможны экстремумы и вычислить значение функции в этих точках).
20.Выпуклость функции.Точки перегиба
.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривой.
График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале. Г На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c). Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить, будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым. Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a; b). Если во всех точках интервала (a; b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ''(x) < 0, то график функции на этом интервале выпуклый, если же f''(x) > 0 – вогнутый. Доказательство.
Предположим для определенности, что
f''(x)
< 0 и докажем, что график функции
будет выпуклым. В Итак,
уравнение кривой имеет вид y
= f(x).
Обозначим
Разность
f(x) – f(x0)
преобразуем по теореме Лагранжа
Таким образом,
К
выражению, стоящему в квадратных
скобках снова применим теорему
Лагранжа:
следовательно,
Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x0 (a; b), а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Т Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0. Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует. |
|
рафик
функции y=f(x)
называется вогнутым
на интервале (a;
b), если он
расположен выше любой своей касательной
на этом интервале.
озьмем
на графике функции y
= f(x)
произвольную точку M0
с абсциссой x0
(a;
b)
и проведем через точку M0
касательную. Ее уравнение
.
Мы должны показать, что график функции
на (a; b)
лежит ниже этой касательной, т.е. при
одном и том же значении x
ордината кривой y
= f(x) будет
меньше ордината касательной.
ординату
касательной, соответствующую абсциссе
x.
Тогда
.
Следовательно, разность ординат
кривой и касательной при одном и том
же значении x
будет
.
,
где c
между x
и x0.
.
,
где c1
между c0
и x0.
По условию теоремы f
''(x)
< 0. Определим знак произведения
второго и третьего сомножителей.
(x
– x0)
> 0 и (c –
x0)
> 0. Поэтому
.
еорема.
Пусть кривая определяется уравнением
y = f(x).
Если f
''(x0)
= 0 или f
''(x0)
не существует и при переходе через
значение x
= x0
производная f
''(x)
меняет знак, то точка графика функции
с абсциссой x
= x0
есть точка перегиба.21.Ассимптоты графика функции
Асимптота графика функций. Общая схема исследования и построение графика функций.
При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.
Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.
Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.
Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.
Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ
Пусть
при x→
x0
с какой-либо стороны функция y
= f(x)неограниченно
возрастает по абсолютной величине,
т.е.
или
или
.
Т
огда
из определения асимптоты следует, что
прямая x
= x0
является асимптотой. Очевидно и обратное,
если прямая x
= x0
является асимптотой, т. о.
.
Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.
НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ
Поскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.
Теорема.
Прямая y
= kx
+ b
служит наклонной асимптотой при x
→ +∞ для графика функции y
= f(x)
тогда и только тогда, когда
.
Аналогичное утверждение верно и при x
→ –∞.
22.Понятие дифференциала функции
Пусть приращение функции y=f(x) разбито на сумму двух членов: Δy = A Δx+Δ, где А не зависит от Δx (т.е. постоянно при данном значении аргумента x) и Δ имеет высший порядок относительно Δx (при Δx > 0). Тогда первый член, пропорциональный Δx, называется дифференциалом функции f(x) и обозначается dy или df(x).
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
|
22. Дифференциал функции
1)Определение:
Функция f(x)
называется дифференцируемой в точке
,
если её приращение в этой точке можно
представить в виде
(1),
где А-const.
-
линейно относительно
и отличается от приращения функции на
бесконечно малую величину
;
поэтому
-
главная линейная часть приращения
функции.
Определение:
Если функция
f(x)
дифференцируема в точке
,
то главную линейную часть её приращения
называют дифференциалом функции в
точке
,
с приращением
;
обозначается:
.
dy=
Теорема:
Утверждение,
что f(x)
дифференцируема в точке
утверждению,
что
конечная
,
причем в 1 в роли A.Доказательство:
:Итак,
функция дифференцируема
выполнено
1.
доказано.
Доказательство:
:
Пусть
конечная
,
докажем тогда по формуле для полного
приращения функции
,
где
-
конечная,
-
.
Сравнивая с 1, видим, что функция
дифференцируема, причем
=А
доказано.