Материал: Математическое и имитационное моделирование проблемно-ориентированных информационных технологий. Проскурин Д.К., Сысоев Д.В

В.И., Кононов А.А. // Информационные техноло-

Подуруев Г.В., Тепляков И.М // Авторское сви-

гии в строительных, социальных и экономиче-

детельство SU 743612 А1, 30.06.1980. Заявка №

ских системах –2019. –№ 3–4(17–18). –С. 36 – 40.

2605047 от 10.04.1978.

10. Хрущева И.В. Основы математиче-

12. Кононов А.Д. Обработка информации

ской статистики и теории случайных процессов /

радионавигационной системы для согласования с

Хру-щева И.В., Щербаков В.И., Леванова Д.С. –

исполнительными механизмами мобильного

М.: «Лань», 2009. – 336с.

объекта / Кононов А.Д., Кононов А.А., Изотов

11. Ульянов Н.А. Система для группового

А.Ю. // В сборнике: Информатика: проблемы,

вождения самоходных сельскохозяйственных ма-

методология, технологии. Материалы ХV меж-

шин / Ульянов Н.А., Чикунов В.Т., Авдеев Ю.В.,

дународной научно-методической конференции.

Бреев Ю.Т., Гильмутдинов В.И., Костюков В.Н.,

– Воронеж, 2015. – С. 99 – 102.

Информация об авторах

Information about the authors

Кононов Александр Давыдович – кандидат физикоматематиче-

Aleksandr D. Kononov, candidate of physical and mathematical Sci-

ских наук, доцент кафедры систем управления и информационных

ences, associate Professor of the Department of control systems and

технологий в строительстве, Воронежский государственный техни-

information technologies in building, Voronezh state technical Universi-

ческий университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20 лет Октяб-

ty (84, 20 let Oktyabrya str., Voronezh, 394006, Russia),

ря, 84), е-mail: kniga126@mail.ru

е-mail: kniga126@mail.ru

Кононов Андрей Александрович – доктор технических наук, про-

Andrey A. Kononov, doctor of engineering Sciences, Professor of the

фессор кафедры систем управления и информационных технологий

Department of control systems and information technologies in building,

в строительстве, Воронежский государственный технический уни-

Voronezh state technical University (84, 20 let Oktyabrya str., Voronezh,

верситет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20 лет Октября, 84),

394006, Russia), Ph.: 8-473-271-5918

тел.: 8-473-271-5918

Одним2 из способов разделения возду-

сферный воздух рассматривается как бинар-

ха на отдельные чистые компоненты являет-

ная смесь, состоящая из азота и кислорода.

ся низкотемпературная ректификация. При

В ходе ректификации протекают слож-

этом, ввиду незначительного содержания в

ные тепло- и массообменные процессы меж-

воздухе инертных газов, разделяемый атмо-

ду одновременно сосуществующими нерав-

новесными паровой и жидкой фазами. При

© Хвостов А.А., Журавлев А.А., Сысоев Д.В.,

их взаимодействии паровая фаза постепенно

обогащается низкокипящим компонентом

Целюк Д.И., 2020

ВЫПУСК № 3 (21), 2020

ISSN 2618-7167

(НКК) азотом, а жидкая фаза обогащается

В

идеальных

двухфазных

системах

высококипящим компонентом (ВКК) кисло-

жидкость - пар коэффициент относительной

родом.

летучести есть отношение давления насы-

В этой связи для совершенствования

щенных паров чистых компонентов P0i

существующих и разработки новых тепло-

P01

массообменных

аппаратов,

позволяющих

.

(2)

12

P02

интенсифицировать

процесс

низкотемпера-

турной ректификации воздуха, необходимы

Зависимость

давления

насыщенного

данные о фазовом равновесии в разделяемых

пара чистого компонента от температуры

смесях.

может быть описана уравнением Антуана

Рассмотрим бинарную смесь азота и

Bi

кислорода. Далее условимся обозначать ин-

lnP0i

Ai

,

(3)

T

дексом i = 1 низкокипящий компонент (азот),

индексом i = 2 – высококипящий компонент

где

P0i

– давление

насыщенного

пара i-го

(кислород). Полагаем, что смесь азота и кис-

компонента,

МПа;

T –

температура компо-

лорода является идеальной.

нента на линии кипения, К; Ai, Bi – эмпири-

Равновесие между жидкой и паровой

ческие коэффициенты (табл. 1).

фазами для

бинарной смеси описывается

Потенцируя

левую

и

правую части

объединенным законом Рауля - Дальтона [1]

уравнения (3), получим

y1

12 x1

,

(1)

P

C exp

Bi

,

(4)

1 12 1 x1

0i

i

T

где y1 – концентрация НКК в паровой фазе,

где

Ci

–

эмпирический

коэффициент

мольные доли; x1 – концентрация НКК в

( Сi

exp Ai , см. табл. 1).

жидкой фазе, мольные доли; 12 – коэффи-

циент относительной летучести.

Таблица 1

Значения эмпирических коэффициентов уравнения Антуана [2]

Компонент

Номер

Эмпирические коэффициенты

компонента i

Ai

Bi

Ci

Азот

1

6,7358

698,22

842,0168

Кислород

2

7,0771

846,26

1184,528

Для вычисления коэффициента относи-

веден по экспериментальным данным, пред-

тельной летучести

12 представим уравне-

ставленным в работах [3, 4]. К рассмотрению

ние (1) в виде

приняты данные о равновесных концентра-

1 x1

циях азота (НКК) в паровой и жидкой фазах

y1

12

.

(5)

бинарных смесях азота и кислорода при раз-

1 y1

x1

личных

значениях

внешнего

давления

Таким образом, располагая значениями

(рис. 1).

Вычисления по формулам (2) и (5) по-

по равновесному составу паровой и жидкой

казали,

что в пределах изменения мольной

фаз при заданном внешнем давлении, выра-

доли азота x1

от 0 до 1, значение коэффици-

жение (5) позволяет рассчитать коэффициент

ента относительной летучести не остается

относительной

летучести

для заданных

постоянным, что связано, по всей видимо-

условий.

стью, с отклонениями от законов Рауля и

Расчет

коэффициента

относительной

Дальтона, характеризующих поведение иде-

летучести азотно - кислородных смесей про-

альных систем.

Рис. 1. Диаграмма фазового равновесия

Рис. 2. Зависимость коэффициента

y – x азотно-кислородной смеси

относительной летучести азотно-

С увеличением значения внешнего дав-

кислородной смеси от давления

ления P коэффициент относительной летуче-

Таким образом, уравнение (1) совмест-

сти нелинейно уменьшается (рис. 2). В обла-

но с (6) позволяют для заданных условий

сти низких значений P давление насыщенно-

проводить расчет равновесных концентра-

го пара НКК существенно превышает давле-

ций азота в паровой фазе, что является необ-

ние насыщенного пара ВКК. В этом случае

ходимым при математическом моделирова-

коэффициент

12 1 и паровая фаза в

нии и оптимизации процессов низкотемпера-

большей степени обогащена НКК по сравне-

турной ректификации воздуха [5].

нию с жидкой фазой (см. рис. 1). При даль-

Библиографический список

нейшем увеличении значения P различия

между давлениями насыщенного пара НКК и

1. Скобло А.И. / Процессы и аппараты

ВКК становятся значительно меньше, значе-

нефтегазопереработки и нефтехимии / А.И.

ния коэффициента относительной летучести

Скобло, Ю.К. Молоканов, А.И. Владимиров,

В.А. Щелкунов. – М.: ИЦ РГУ нефти и газа име-

12 снижается (см. рис. 2), содержание НКК

ни И.М. Губкина, 2012. — 731 с.

в паровой фазе уменьшается при одновре-

2. Хвостов А.А. Уравнение кипения би-

менном увеличении содержания в той же фа-

нарных смесей азота, кислорода и аргона / А.А.

Хвостов, А.А. Журавлев, А.А. Богер, Д.И. Целюк

зе ВКК (см. рис. 1). При достаточно боль-

// Качество в производственных и социально-

шом значении внешнего давления P коэффи-

экономических системах: сб. науч. тр. 6-ой Меж-

циент 12 1 (см. рис. 2) и содержание НКК

дународной научно-технической конференции:

в паровой фазе практически равно содержа-

Юго-Зап. гос. ун-т, В 2-х томах, Том 2, Курск:

ЗАО «Университетская книга», 2018. – С. 237 –

нию того же компонента в жидкой фазе (см.

239.

рис. 1). В этом случае ректификация исход-

3. Наринский Г.Б. Ректификация воздуха /

ной азотно-кислородной смеси невозможна.

Г.Б. Наринский. – М.: Машиностроение, 1978. –

Обработка экспериментальных данных

248 с.

4. Воробьев А.А. Интенсификация тепло-

позволила получить уравнение, адекватно

массообмена при ректификации атмосферного

описывающее

зависимость

коэффициента

воздуха в аппаратах пленочного типа: дисс. канд.

относительной летучести 12

от давления P

техн. наук / Воронеж. гос. техн. ун-т. – Воронеж,

2015. – 124 с.

(коэффициент парной корреляции 0,9835)

5. Ряжских В.И. Модель испарителя кубо-

2,175 P 0,2719 .

(6)

вой жидкости ректификационной колонны воз-

духоразделительной установки с переменными

12

ВЫПУСК № 3 (21), 2020

ISSN 2618-7167

ских, А.А. Хвостов, А.А. Журавлев, А.В. Ряж-

конф.: в 12 т. Т. 1 / под общ. ред. А.А. Большако-

ских, О.А. Семенихин // Математические методы

ва. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2018. – С. 92

в технике и технологиях: сб. тр. Междунар. науч.

– 95.

системных связей и процессов, протекающих

Коэффициенты lij называются нагрузкой i-го

в системе, а также факторов ее функциони-

параметра на j-й фактор или нагрузкой j-го

рования. Корреляционный

анализ

парамет-

фактора на i-й параметр. Систему уравнений

ров системы

позволяет

оценить

степень и

(1) можно преобразовать в систему уравне-

характер их взаимодействия и затем струк-

ний

турировать группу параметров. Корреляци-

онные плеяды, включающие параметры с

n

отрицательной

корреляционной

зависимо-

fi aij x j ; i 1,2,...,k.

(2)

стью выявляют конфликт в системе (ядра

j 1

конфликта Wk),

корреляционные

плеяды с

Здесь a

ij – преобразованная нагрузка j-

положительной

корреляционной

зависимо-

го параметра на i-й фактор.

стью –

согласие

(ядра

согласия

Wc),

под-

Векторы главных компонент - это ор-

группа независимых параметров – безразли-

тонормированный набор собственных

век-

чие. Таким образом, можно построить ядра

торов Vi корреляционной матрицы R, распо-

конфликта, согласия и безразличия в системе

по корреляционной матрице R = {rij}, (i, j =

ложенных в порядке убывания собственных

1,2,…,n). Здесь rij – парный коэффициент

значений λ1 ≥ λ2 ≥…≥ λn> 0.

корреляции между i - м и j – м параметрами.

RVi iVi .

(3)

В основе взаимодействия параметров лежат

некие факторы (их можно обозначить в виде

В силу симметричности матрицы R,

в

латентных переменных fi (i = 1,2,…,k), где k

которой rij (i, j

= 1,2,…,n) – вещественные

существенно меньше n.

В

связи

с

этим на следующем

этапе

числа, собственные значения λi (i = 1,2,…,n)

анализа

системы

необходимо

определить

– также вещественные числа. Собственные

векторы Vi корреляционной матрицы R, со-

факторы функционирования системы и сте-

пень их воздействия на поведение системы.

ответствующие первым k собственным зна-

чениям λ1, λ2,…,λk, соответствуют факторам

Существующий

математический

аппарат

включает ряд методов факторного анализа,

fi (i = 1,2,…,k), определяемым методом глав-

среди которых

наиболее популярен метод

ных компонент, определяющих основную

дисперсию параметров системы, а, значит, и

главных

компонент. Выделенные главные

несущих основную информацию о системе.

компоненты

(направления

главного

из-

Если функционирование системы свя-

менения данных) и представляют собой фак-

зано с достижением некоторых целей, или в

торы fi (i = 1,2,…,k). Они характеризуют ос-

общем некоей интегральной цели, то пред-

новную дисперсию параметров системы [1].

полагается формирование критериев

опти-

При этом оставшиеся n – k факторов прини-

мальности (не ограничивая общности, на до-

маются несущественными.

Суммарная дис-

стижение максимума каждого критерия).

В

персия,

определяемая

этими

факторами

этом смысле для рассмотренной системы

X

близка к нулю.

= (x1,x2,…,xn) в

качестве критериев можно

Модель факторного анализа представ-

рассмотреть xi

– параметры системы

(i

=

ляется в виде системы уравнений:

1,2,…,n).

k

На первом этапе оптимизации системы

xi lij f j

ei ;

i 1,2,...,n; k n.

(1)

необходимо построить целевую функцию по

j 1

достижению оптимума (максимума),

зави-

Значения

каждого

параметра xi могут

сящую от критериев, или другими словами

быть выражены взвешенной суммой латент-

функцию полезности.

ных переменных (простых факторов) fi, ко-

Аксиоматические методы построения

личество которых меньше числа исходных

функции полезности – это формальные ме-

параметров, и

остаточным

членом ei с дис-

тоды, основанные на том, что формулируют-

2

(ei), действующей только на xi, ко-

персией σ

ся специальные предположения (аксиомы) о

торый называют специфическим фактором.

свойствах предпочтения, выполнение кото-