Материал: Методические указания для организации самостоятельной работы по математике для студентов. Посметьев В.В., Кретова Л.Д

Задания для самостоятельного решения

1. Построить кривые:

а) (архимедова спираль);

б) (лемниската Бернулли);

в) (трехлепестковая роза).

2. Записать в декартовых координатах уравнение линии и построить ее.

Контрольные вопросы

1. Какие кривые называются алгебраическими?

2. Какие соотношения связывают декартовые и полярные координаты точек?

3. Как вычисляется производная функции, заданной параметрически?

5. Вычисление площадей

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметри­ческие уравнения , прямыми и осью , то площадь ее вычисляется по формуле

(13)

где пределы интегрирования находятся из уравнений на отрезке [ , ]). Формула (6.1) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замк­нутой кривой (изменение параметра от , до должно соот­ветствовать обходу контура по часовой стрелке).

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение. Выразим из уравнений и , возведем их в квадрат и сложим. Получим

.

Это уравнение эллипса с полуосями равными 8 и 2. Данные линии изображаем на рисунке и заштриховываем искомую площадь (рис. 10). Найдем значения параметра , соответст­вующие точкам пересечения данных кривых. Для этого реша­ем уравнение и получаем (соответствует точке В) и (соответствует точке D). Искомая площадь , где - площадь фигуры ABCDE, a - площадь прямоугольника ABDE. По формуле (6.1) получаем

Для вычисления площади прямоугольника ABDE найдем координаты точек B и D. Получаем

Тогда и искомая площадь

Рис. 10

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

Решение. Изобразим данные линии и заштрихуем искомую площадь (рис. 11). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения данных кривых. Для этого решаем уравнение или и получаем (соответствует точке B) и (соответствует точке C). Точке A соответствует значение параметра так как и

Площадь фигуры ABC находим как удвоенную площадь верхней половины ABD, интегрируя при этом в направлении возрастания от точки A до точки B:

x

Рис. 11

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой и лучами и выражается интегралом

(14)

Пример 3. Найти площадь фигуры, лежащей вне окружности и ограниченной кривой

Решение. Так как функция имеет период то при изменении от 0 до радиус-вектор описывает два равных лепестка кривой. При этом допустимыми для являются те значения, при которых откуда

Следовательно, один из лепестков описывается при изменении от до Второй лепесток получается при изменении от до (рис. 12). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу мы получим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь В свою очередь Точкам B и C соответствует значение полярного угла Найдем полярные координаты точки A пересечения данных кривых. Для этого решим уравнение т.е. Между 0 и находится только корень Таким образом, точке A, соответствует полярный угол