Документ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплинам «Информационные операции и атаки в распределенных системах». Плотников Д.Г, страницы 6-10

=

1

[α − 2M α +(M )2α ]

=

α3

− 2M

α2

+(M )2 =

3

2

1

α1

2

α3

=

− (

α2

) .

α1

Отсюда среднеквадратическое отклонение будет равно

σ = √α3 − 2M α2 +(M )2. α1 α1

Следует заметить, что подобное отклонение может быть найдено относительно моды риска u0, которая может быть определена из решения следующего уравнения

Risk′(u) = [uφ(u)]′ = φ(u) + u φ′(u) = 0.

Для оценки ассиметрии и островершинности кривой риска необходимо найти подобные аналитические выражения для третьего и четвертого центральных моментов риска:

∫∞(u − M )3Risk(u)du

∫∞(u − M )3u φ(u)du

μ

=

0

=

0

=

∞

3

∫

Risk(u)du

u φ(u)du

∫

01

∞

0

=

∫ [u3 − 3u2M + 3(M )2u − (M )3]u φ(u)du =

α

0

1

∞

1

=

(∫ u4φ(u)du − 3M ∫ u3φ(u)du +

α

0

1

∞

+ 3(M )2 ∫

u2φ(u)du − (M )3 ∫ u φ(u)du) =

1

0

=

[α − 3M

α + 3(M )2α

− (M )3α ]

=

α1

4

3

2

1

=

α4

− 3M

α3

+ 3(M )2

α2

− (M )3;

α

1

∫∞(u − M )4Risk(u)du

∫∞(u − M )4u φ(u)du

μ

=

0

=

0

=

∞

4

∫

u φ(u)du

Risk(u)du

∫

0

4

1

∞

=

∫ [u4 − 4u3M + 6(M )2u2 − 4(M )3u +

α

0

1

+ (M )4]u φ(u)du =

=

α5

− 4

α4

M + 6

α3

(M )2 − 4

α2

(M )3 + (M )4.

α

1

Осуществляя подстановку M =

α2

, имеем:

α23

α1

α23

α4

α2α3

α2

3

α4

α2α3

μ

=

− 3

+ 3

− (

) =

− 3

+ 2

;

3

α1

α12

α13

α1

α12

α13

μ

=

α5

− 4

α4α2

+ 6

α3α22

− 4

α24

+

α24

=

α14

4

α1

α12

α13

α5

α4α2

2

4

=

− 4

+ 6

α3α2

− 3

α2

.

2

3

4

α1

Далее аналитически можно выразить ассиметрию и эксцесс риска.

			μ	3		μ
A	=			3	, E	=	4	− 3.
A	=				, E	=		− 3.
s		√(μ )3			x	(μ2)2
		√(μ )3				(μ2)2
				2

Для удобства дальнейшего анализа, вcе они сведены в табл. 1.

Таблица 1 Обобщенные аналитические выражения для расчета

параметров риска

Параметры риска	Аналитические выражения
	параметров
Начальные моменты		α =			αk+1
		α =			αk+1
		k			α1
					α1
Среднее значение ущерба		M =				α2
						α2
						α1
						α1
Второй центральный момент	μ2		α3				α2	2
		=		− (				)
		=	α1	− (			α1	)

5

Продолжение табл. 1

Параметры риска

Аналитические выражения

параметров

Среднеквадратическое

α3

α2

2

отклонение ущерба

σ

=

√

α

− 2M

α

+(M ) .

1

Третий центральный момент

α4

α3

2 α2

μ

=

− 3M

+ 3(M

)

3

α1

(M )3

−

Четвертый

центральный

α

5

α α

α

α2

α4

момент

μ4 =

− 4

4

2

+ 6

3 2

− 3

2

.

α1

2

3

4

α1

Ассиметрия

μ3

As =

√(μ )3

2

Эксцесс

μ

4

Ex

=

− 3

2

(μ )

2

где αk -начальные моменты плотности вероятности наступления ущерба.

Как видно, для проведения численных расчетов вышеуказанных параметров достаточно знать величины первых начальных моментов плотности вероятности наступления ущерба. Для рассматриваемого семейства это представляется возможным (табл. 2).

Что же касается моды, то для рассматриваемого семейства экспоненциальных распределений можно сделать

следующее обобщение

A(u) φ(u) = exp[B(u)],

где функции A(u) и B(u) определяются видом распределения (табл. 2).

6

Таблица 2 Основные параметры экспоненциального семейства

распределений

Закон

( )

распределения

Экспоненциальный

λ

λu

k!

λk

Релея

(λu)2

1

k

λ2u

Г (1 +

)

λk

2

Гамма

λcuc−1

λu

Г(с + k)

Г(с)

Г(с)λk

Эрланга

λnun−1

λu

1

k−1

∏(n + i)

(n − 1)!

λk

i=0

Вейбулла

d

d−1

(λu)d

1

Г (

d + k

)

λ

u

λk

d

Логнормальный

exp [km

1

(ln u − m)2

(kσ)2

uσ√2π

2σ2

+

]

2

где Г – гамма-функция

Поиск экстремума риска сводится к решению уравнения

φ(u) + uφ′(u)

=

A(u)

+ u [

A′(u)

−

A(u)B′(u)

= 0

]

exp[B(u)]

или

A(u) + uA′(u) − u A(u)B′(u) = 0.

Решение этого уравнения u0 позволит найти пик риска Rmax = Risk(u0). Представленные параметры достаточно полно характеризуют кривую риска.

Для иллюстрации рассмотрим показательное (экспоненциальное) распределение, где

φ(u) = λ exp(−λu).

Соответственно риск имеет вид

Risk(u) = λu exp(−λu).

7

Отсюда для поиска моды имеем

λ + u ∙ 0 − uλ ∙ λ = 0

или

uλ2 = λ.

Решением последнего уравнения является мода

u0 = 1λ

Соответственно пик риска равен

Rmax = λ	1	exp (−λ	1	) =	λ	.

	λ		λ		e

Определяя из табл. 1. первые пять начальных моментов

α1

=

1

, α2

=

2

, α3

=

6

, α4

=

24

, α5

=

120

,

λ

λ3

λ4

λ2

λ5

находим:

– среднее значение ущерба

M =

α2

=

2

∙

λ

=

2

;

λ2

1

λ

α1

– среднеквадратическое отклонение

2

α3

6

4

√2

σ =

√

− (

α2

) =

√

∙

λ

−

∙

λ

=

;

4

1

α

3

1

λ

1

λ

– центральные моменты

α

α α

α3

24 λ

6 2 λ

8 λ3

=

4

− 3

2

3

+ 2

2

=

− 3

+ 2

μ

α12

α13

λ4

λ3 λ2 1

λ6 1

3

α1

1

= 24

1

− 36

1

+ 16

1

=

4

,

3

λ

μ =

α5

− 4

α4α2

+ 6

α3α22

− 3

α24

=

4

α1

α12

α13

α14

120

1

24

2

λ2

6

4 λ3

=

∙

− 4

∙

+ 6

−

λ5

λ

λ4

λ2

1

λ3

λ4

1

16 λ4

120

192

144

48

20

− 3

=

−

+

−

=

,

λ8

1

λ4

–ассиметрию и эксцесс кривой риска

8

Материал: Методические указания к практическим занятиям по дисциплинам «Информационные операции и атаки в распределенных системах». Плотников Д.Г

Смотрите также: