Документ: Методические указания к практическим занятиям по дисциплинам «Информационные операции и атаки в распределенных системах». Плотников Д.Г, страницы 11-15

						(			4			)
						(						)
As =			μ3		=				λ3					=	2	,
												3
			3												√2
			3				√2								√2
		√(μ2)				(	√2				)
		√(μ2)				(					)
									λ
						(204 )
Ex =	μ4			− 3 =				λ					− 3 = 2.
Ex =			2	− 3 =				2				2	− 3 = 2.
	(μ2)					(		2		)
	(μ2)					(		2		)
								λ

Расчитанные параметры сведены в табл. 3, которую можно использовать для инженерных расчетов.

Таблица 3 Аналитические выражения риска и параметров

(для экспоненциального распределения плотности вероятности наступления ущерба)

Risk(u) = λu exp(−λu)

где: u – ущерб, λ – параметр распределения плотности вероятности наступления ущерба

Наименование параметра риска	Аналитическое выражение
Среднее значение ущерба	M =				2
	M =				λ
Мода ущерба	u0 =			1

				λ
Пик риска	Rmax	=				1

						e
Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение	σ =		√2
ущерба			√2
ущерба				λ
Ассиметрия риска	As =			2
	As =
			√2
Островершинность риска	Ex = 2

Подобную таблицу целесообразно получить для координат экстремума риска при различных законах распределения плотности вероятности ущерба.

Так, для распределения Релея на основании табл. 2

9

представляется составить уравнение

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u) == 2λ2u + 2uλ2 − u ∙ 2λ2u ∙ 2λ2u = 2λ2u + 2λ2u − 4λ4u3 = 0

или

2λ2u − 4λ4u3 = 0.

Решая последнее уравнение, имеем

u0 = 1λ.

Отсюда пик риска равен

Rmax = 2λ2 (1λ)2 exp (−λ2 (1λ)2) = 2e .

Применительно к гамма-распределению уравнение экстремума выглядит следующим образом

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u)

c

c−1

c

c−2

c

u

c−1

=

λ

u

+ u

λ

(c − 1)u

− u

λ

λ = 0

Г(с)

или

1 + (c − 1) − λu = 0.

Решением такого уравнения будет мода риска

u0 =

c

,

λ

а пик риска будет равен

c

c с

Rmax =

λ

(λ)

exp (−λ ∙

c

) =

cc

.

Г(с)

Г(с)ec

λ

Далее рассмотрим распределение Эрланга, для чего

составим уравнение моды

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u)

n

n−1

n

(n − 1)u

n−2

n

n−1

=

λ

u

+ u

λ

− u

λ u

λ.

(n − 1)!

Упрощая, имеем уравнение

1 + (n − 1) − λu = 0,

решением которого является мода u0 = nλ.

10

По аналогии составим уравнение моды для распределения Вейбула (табл. 2)

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u) = = dλdud−1 + udλd(d − 1)ud−2 −

− udλdud−1λddud−1 = 0.

Упрощение уравнения приводит к виду

1 + (d − 1) − dλdud = 0.

Отсюда мода равна

u0 = 1λ.

Соответственно пик риска будет равен

Rmax = dλd (1λ)d exp [− (λ 1λ)d] = dλ.

Применительно к логнормальному распределению плотности вероятности наступления ущерба уравнение моды риска согласно табл.2 примет следующий вид

A(u) + uA′(u) − uA(u)B′(u) =

=

1

+ u

1

∙ (−

1

) − u

1

×

2

uσ√2π

σ√2π

u

1

× [2 ln u (

) − 2m (

)] = 0.

u

Упрощение дает

2 ln u − 2m = 0,

откуда находим моду риска

u

= em.

0

Соответственно пик риска будет равен

1

(ln(em) − m)2

1

Rmax =

exp [−

] =

.

2σ2

σ√2π

Вышеперечисленные

выражения

для

координат

экстремума риска сведены в табл. 4.

11

Таблица 4 Аналитические выражения моды и пика риска

Вид используемого

Мода

Аналитическое

закона распределения

риска

выражение для пика

плотности вероятности

риска

ущерба

Экспоненциальный

1

λ

e

Релея

1

2

λ

e

Гамма

c

cc

λ

Г(с)ec

Эрланга

n

nn

λ

(n − 1)! en

Вейбулла

1

d

λ

e

Логнормальный

em

1

σ√2π

Теперь определим аналитические выражения параметров риска для экспоненциального распределения согласно табл. 2. они будут иметь следующий вид:

α

2!⁄λ2

2

M

=

2

=

;

α1

1⁄λ

λ

3!⁄λ3

2 2!⁄λ2

2 2

α

3

2

+(M )2 = √

σ = √

− 2M

− 2

+ (

) =

α

1⁄λ

λ

1⁄λ

λ

1

= √

6

−

8

+

4

=

√2

;

λ2

λ

μ

=

α4

− 3

α2α3

+ 2

α23

=

3

α1

α12

α13

3

4!⁄λ

4

(3!⁄λ

3

)(2!⁄λ

2

)

(2!⁄λ

2

)

24

36

16

=

− 3

+ 2

=

−

+

=

1⁄λ

(1⁄λ)2

(1⁄λ)3

λ3

12

=

4

;

3

λ

μ*

=

α5

-4

α4α2

+6

α3α22

-3

α24

=

α13

4

α1

α12

α14

5!⁄λ5

(4!⁄λ4 )(2!⁄λ2 )

(3!⁄λ3 )(2!⁄λ2 )2

(2!⁄λ2 )4

=

-4

+6

- 3

=

1⁄λ

(1⁄λ)2

(1⁄λ)3

(1⁄λ)4

=

120

-

192

+

144

-

48

=

20

;

4

λ

4

As =

μ3

λ3

√2

=

√2;

⁄

3

2

√(μ2)3

√2

√

)

(

λ

μ

20⁄λ4

E

=

4

− 3 =

− 3 = 2.

x

(μ )2

⁄λ)2

(√2

2

Интересно также было бы найти среднеквадратическое отклонение от моды

α

3!⁄λ3

1 2!⁄λ2 1 2

3

2

√

σ0

= √

− 2u0

+(u0)2 =

− 2

+ (

) =

α

1⁄λ

λ

1⁄λ

λ

1

6

4

1

√3

= √

−

+

=

,

λ2

λ

а также– островершинность риска на ее основе

u

1⁄λ

1

E0 =

0

=

.

√3

2σ0

2

2√3

λ

Рассмотрим далее распределение Релея. Опираясь на выражение в табл. 2, имеем:

		1		Г (1 +	2
	α2				2)		1 Г(2)
M =	α2	=	λ2		2)	=	1 Г(2)	;
M =		=				=		;
	α1	1		Г (1 +	1		λ Г(1,5)
			λ	Г (1 +	2)

13

Материал: Методические указания к практическим занятиям по дисциплинам «Информационные операции и атаки в распределенных системах». Плотников Д.Г

Смотрите также: