Материал: Методические указания к проведению практических занятий и самостоятельной работы по дисциплинам. Основы метрологии, стандартизации, сертификации и контроля качества. Сотникова О.А., Мартыненко Г.Н
Второе условие (8) называют условием нормирования плотности вероятностей, то есть площадь под кривой распределения в пределах -∞ ...
+∞ равна единице. Другими словами, вероятность появления результата наблюдения в указанном интервале является достоверным событием.
Следует обратить, внимание на то, что размерность плотности вероятности случайной величины X выражается величиной X-1
Произведение р(Х)dX называется элементом вероятности, который равен вероятности того, что случайная величина X примет значения в интервале dX.
Зная кривую распределения р(Х), можно определить вероятность попадания результата наблюдения в любой заданный интервал X1, X2
(9)
Зная интегральную функцию распределения, вероятность попадания результата наблюдения X в указанный интервал определяют разностью значений функции распределения на границах этого интервала
(10)
На рис. 2 показаны способы графического определения вероятностей попадания результатов наблюдений в заданный интервал Х1 –Х2 : по интегральной функции распределения (рис. 2,а): по кривой распределения плотности вероятностей (рис.2,б). В первом случае искомая вероятность определяется разностью значений ординат, соответствующих аргументам Х1 и Х2 , а во втором случае - площадью под кривой распределения, ограниченной по оси Х значениями Х1 и Х2.
По форме кривой распределения, таким образом, можно судить о том, какие интервалы значений случайных погрешностей более вероятны, какие - менее.
Математическое ожидание случайной величины Х есть некоторое постоянное число, являющееся одним из важнейших параметров распределения
(11)
Числовое значение измеряемой величины, соответствующее мате-
матическому ожиданию, принимают за оценку истинного значения |
Q, то |
есть |
|
Q=MX |
(12) |
6
Однако при определении эмпирической кривой распределения, как правило, не получают совпадения математического ожидания с истинным значением измеряемой величины.
Распределение случайной величины, соответствующей этому более общему случаю, представлено на рис.3. На этом рисунке видно, что оценка истинного значения МХ отличается от истинного значения на Q некоторую ∆m, представляющую собой математическое ожидание погрешности измерения.
7
Математическое отдание погрешности измерения
(13)
Математическое ожидание погрешности измерения представляет собой некоторую среднюю постоянную погрешность, которая повторяется в каждом i- том наблюдении. Эту погрешность обозначим ∆m будем называть систематической погрешностью.
Более строго систематическая погрешность определяется как отклонение математического ожидания результатов наблюдений от истинного значения измеряемой велeчины
(14)
а случайная погрешность - как разность между результатом однократного наблюдения и математическим ожиданием результатов
(15)
Таким образом, любая погрешность однократного наблюдения может быть представлена суммой систематической и случайной погрешностей
(16)
Это положение хорошо иллюстрирует рис.3.
В принятых условиях обозначениях истинное значение измеряемой величины может быть определено следующим выражением
(17)
Учитывая, что систематическая погрешность постоянна для некоторой совокупности результатов измерения, а случайная погрешность изменяется по значению и знаку для каждого однократного наблюдения, истинное ее значение определяется следующим образом
(18)
Q (Xi m ) pi
8
Значение Хi-∆m называется исправленным результатом, если ∆m удается определить в результате анализа эксперимента. Случайная погрешность ∆рi остается неизвестной и нуждается в ее более четком ограничении, что как будет видно далее, возможно с учетом вероятностных законов распределения. В общем случае, когда в результате однократного наблюдения неизвестны обе составляющие погрешности измерения, результат измерения может быть представлен только в следующем виде
(19)
9
где ∆ - предел погрешности измерения, максимальное значение суммы ∆m и ∆р по модулю.
1.2. Параметры распределения случайных погрешностей
Кроме математического ожидания случайной величины МХ, вторым важнейшим параметром распределения, его числовой характеристикой, являётся дисперсия
(20)
Для дискретных величин
(21)
Дисперсией называется математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия является характеристикой рассеяния размеров относительно математического свидания. Но дисперсия неудобна для оценки рассеяния в качестве меры рассеяния, так как имеет размерность квадрата случайной величины. В качестве меры рассеяния размеров относительно математического ожидания применяют среднее квадратическое отклонение, за которое принимают положительное значение корня квадратного из дисперсии и которое обозначают σх (для величины X )
(22)
Если нет сомнения относительно измеряемой величины, то среднее квадратическое отклонение обозначают σ.
С помощью среднего квадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютному значению не превзойдет некоторого наперед заданного значения ε, то есть
(23)
Это выражение известно как неравенство Чебышева.
Полагая, Например, что ε=3σ∆ , найдем указанную вероятность
|
|
|
1 |
2 |
3 2 |
0,89 89 % |
|
||||||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10