Документ: Методические указания к проведению практических занятий и самостоятельной работы по дисциплинам. Основы метрологии, стандартизации, сертификации и контроля качества. Сотникова О.А., Мартыненко Г.Н, страницы 26-30

распределений, проводя графическое сравнение гистограмма распределения с теоретической кривой.

26

Для более точного определения соответствия эмпирического и теоретического распределений необходимо выбрать критерий их соответствия. Проверяемая гипотеза состоит в том, что величина х по данным выборки подчинена закону F(x). Выбирают меру (критерий) расхождения между предполагаемым теоретическим и эмпирическим распределениями. Если такая мера расхождения превосходит некоторый предел, гипотеза отклоняется.

В качестве меры расхождения принимается сумма квадратов разностей частостей и теоретических вероятностей попадания результатов наблюдений в каждый интервал, взятых с некоторыми весовыми коэффициентами каждого интервала (разряда)

r
U ci (Pi	Pi )2 ,	(59)

i 1

где Сi- весовые коэффициенты разрядов; Рi* - частость, полученная из гистограммы; Рi - теоретическая вероятность попадания случайной величины в данный интервал

Pi xxiB p(x)dx ,

in

В практических задачах о проверке нормальности

значение Рi определяется по табл.П.2. как

X

xin X

Pi

Ф z

xiB

Ф z

,

Sx

(60)

распределения

(61)

Мера расхождения U является случайной величиной и независимо отис- ходного распределения подчиняется x2-распределению Пирсона с k степенями свободы при условии, что все частоты mi≥5, число измерений стремится к бесконечности, а веса выбирают равными n/Рi . Число степеней свободы распределения

	k =r-S					(62)
где r – число интервалов гистограммы (при условии mi≥5);
S – число независимых связей, наложенных на частости Рi*.
При определении нормальности распределения S=3.
Мера расхождения, выбранная по Пирсону, обозначается					Х k	2 и имеет
следующее выражение:
n		nPi )	2	r
xk2	(mi	nPi )		xi2 ,		(63)
xk2		nPi		xi2 ,		(63)
i 1		nPi		i 1

где х - мера расхождения в каждом интервале

27

2	(m nP)2
	i	i	,	(64)
xk
		nPi

Мы уже использовали х2 -распределение для определения доверительных границ среднего квадратического отклонения.

Для проверки гипотезы нормальности распределения или соответствии


предполагаемому закону распределения значение Х k							2	сравнивает с границами
интервала для Х k		2 , определяемого по табл.П.4 для принятой доверительной ве-
роятности α=1-q. Этими границами будут значения
		Х k	2 ,q/2 и Х k	2 ,1-q/2
Если	мера расхождения Х k				2 ,	вычисленная		по	(63)	окажется в
указанном	интервале, то гипотеза					принимается.		Если	же	Х k	2 выходит

за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается, как противоречащая опытным данным.

Порядок проверки нормальности распределения по критерию Х k	2 при
n≥40 следующий.
1.Результаты наблюдений группируют по интервалам, определяют ча-

стоты mi. Интервалы, в которых mi< 5, объединяют с соседними. Число степеней свободы при этом уменьшается.

2.Вычисляют оценки параметров распределения Х и Sх, которые принимает в качестве параметров теоретического нормального распределения.

3.Для каждого интервала находят вероятности попадания в него по фор-

муле (60).
4.Вычисляет для каждого интервала меру расхождения Х k		2 и суммируют
их значения.
5.Определяют число степеней свободы k=r-3 для нового числа интерва-
лов и, задаваясь уровнем значимости q, , находят границы Х k	2 ,q/2 и Х k		2 ,1-q/2.

Задача 2.2. Проверить нормальность распределения результатов наблюдения, приведенных в табл. 3, для которых определены Х =8,91936 Вт/м2/К и

Sx=0,0028 Вт/м2/К.

Пояснения к решению задачи 2.2.

Результаты вычисления и определения по таблицам необходимых величин приведены в табл. 3. Значения Рi определены как разности Ф(z), найденных для границ интервалов. Меру расхождения Х k 2 определим, используя данные табл. 3

28

В связи с тем, что четыре интервала были объединены в два, число степеней свободы k=8-2-3 = 3. Задаваясь уровнем значимости 10 %, то есть q=0,1 находим границы Х 2 3;0,05 =0,352 Х 2 3;1 0,05 = 7,815 по табл.П.4. Полученное значение Х k 2 =0,08661 лежит в интервале значений 0,352 и 7,815 и следовательно, распределение опытных данных можно считать нормальным.

2.3. Обнаружение грубых погрешностей

Выдвигается гипотеза: результаты наблюдения Хi не содержат грубой погрешности, то есть являются одними из значений случайной величины X, распределенной по закону Fx(xk), параметры которого предварительно определены.

Сомнительными могут быть либо Xmin, либо Хmax из всего ряда наблюдений, поэтому для проверки гипотезы определяют величину ν

Распределения этих величин приведены в табл. 4. По этой таблице можно определить предельное значение να, которое при заданной доверительной вероятности α и данном число наблюдений случайная величина ν может принять по чисто случайным причинам.

Если вычисленное по опытным, данным значение ν окажется меньше να, то гипотеза принимается. В противном случае гипотеза отклоняется, результат наблюдения рассматривается как содержащий грубую погрешность и отбрасывается.

Задача 2.3. При измерении температуры t были получены следующие ре-

зультаты. 0С: 20,42; 20,43; 20,40; 20,43; 20,42; 20,43; 20.39; 20,30; 20,40; 20,43; 20,42; 20,41; 20,39; 20,39; 20,40.

Требуется определить, не содержит ли результат восьмого наблюдения грубую погрешность.

Пояснения к решению задачи 2.3.

Сначала определяем параметры распределения с учетом восьмого резуль-

тата: t = 20.404 °С. St= 0.033 °С.

Для доверительной вероятности α=0,95 и числа наблюдений k=15 по

табл.П.5 найдем ν0,95=2,493.
Для сомнительного результата	,

который превосходит предельное значение να=0,95 следует заключение: результат 20,30 0С содержит грубую погрешность. После исключения t8 из числа результатов получим следующее значение оценок параметров распределения:

t ' =20,411 °С, St’ = 0,016 °С, то есть доверительные границы будут определены в два раза точнее.

29

Таблица 3

Исходные и расчётные данные к задаче 2.2.

i	Границы интер-		mi				Ф(z)	Рi	nPi	(mi nPi )2
i	Границы интер-		mi	z		xiB X	Ф(z)	Рi	nPi	(mi nPi )2
	валов			z		S x				nPi
	хiH	xiB				S x				nPi
	хiH	xiB
1	8,919	8,913	1		-2,27		0,0116	0,0116	1,16
2	8,913	8,915	5		-1,56		0,0594	0,0478	4,78	0,0180
3	8,915	8,917	14	-0,845			0,1991	0,1397	13,97	0,0000
4	8,917	8,919	27	-0,129			0,4487	0,2496	24,96	1,1670
5	8,919	8,921	24	+0,586			0,7210	0,2723	27,23	0,3840
6	8,921	8,923	18	+1,301			0,9034	0,1824	18,24	0,0021
7	8,923	8,925	9	+2,016			0,9780	0,0746	7,46
8	8,925	8,927	2	+2,731			0,9968	0,0188	1,86	0,2950

X k2 0,8661

Таблица 4

Значения να при различных числах измерения n

n		q=1-α			n		q=1-α

	0,1	0,05	0,025	0,01		0,1	0,05	0,025	0,01

3	1,406	1,412	1,414	1,414	14	2,297	2,461	2,602	2,759

4	1,645	1,689	1,710	1,723	15	2,326	2,493	2,638	2,808

5	1,731	1,869	1,917	1,955	16	2,354	2,523	2,670	2,837

6	1,894	1,996	2,067	2,130	17	2,380	2,551	2,701	2,871

7	1,974	2,093	2,182	2.265	18	2,404	2,557	2,728	2,903

8	2,041	2,172	2,273	2,374	19	2,426	2,600	2,754	2,932

9	2,097	2,237	2,349	2,464	20	2,447	2,623	2,778	2,959

10	2,146	2,294	2,414	2,540	21	2,467	2,644	2,801	2,984

11	2,190	2,383	2,470	2,606	22	2,486	2,664	2,823	3,008

12	2,229	2,387	2,519	2,663	23	2,504	2,683	2,843	3,080

13	2,264	2,426	2,526	2,714	24	2,520	2,701	2,862	3,051

					25	2,537	2,717	2,880	3,071

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Радкевич Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация [Текст] : учебник для бакалавров : допущено Учебно-методическим объединением. - 5-е изд., перераб. и доп. - Москва : Юрайт , 2012. – 813 с.

2.Егоров Ю.Н. Метрология и технические измерения: практикум / Егоров Ю.Н.— М.: Московский государственный строительный университет, ЭБС АСВ, 2012. — 104 c.

3.Николаев М.И. Метрология, стандартизация, сертификация и управление качеством: учебное пособие / Николаев М.И.— М.: Интернет-Университет Информационных Технологий (ИНТУИТ), 2010. — 87 c.

30

Смотрите также: