Материал: Методические указания к проведению практических занятий и самостоятельной работы по дисциплинам. Основы метрологии, стандартизации, сертификации и контроля качества. Сотникова О.А., Мартыненко Г.Н
1.3. Законы распределения случайных погрешностей.
Одним из наиболее распространенных законов распределения погрешностей является нормальный закон распределения (закон распределения Гаусса), что объясняется центральной предельной теоремой теории вероятностей.
Центральная предельная теорема теории вероятностей утверждает, что распределение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с суммарным действием всех остальных.
Нормальный закон имеет следующее выражение для дифференциальной функции распределения:
(24)
Графически эта функция представлена на рис. 4 для различных значений среднего квадратического отклонения (σ1<σ2). Из уравнения (24) можно заключить:
1.Плотность вероятностей имеет максимум при Х=МХ
2.С увеличением погрешности ∆=Х-МХ независимо от знака (функция четная) плотность вероятности стремится к нулю.
3.С увеличением среднего квадратического отклонения вероятность больших отклонений увеличивается, то есть размеры рассеиваются в более широком диапазоне.
Функция распределения нормальной случайной величины имеет вид
(25)
На рис. 4 кривая распределения будет изменяться в зависимости от среднего квадратического отклонения. Но если выразить погрешности некоторым числом t средних квадратических отклонений, получим кривую нормированного нормального распределения с аргументом
(26)
которая имеет следующее выражение
(27)
11
Как известно, нормированная функция имеет вид (27), который получен из условия, что
(28)
В табл. П.1 приведены значения плотности вероятности, нормированной функции нормального распределения. На рис. 5 показан график дифференциальной функции нормированного нормального распределения. Кривая может быть использована для любых значений отклонений при условии, что t = 1 соответствует ∆ = σ∆.
Интегральная функция нормального нормированного распределения имеет следующий вид:
(29)
где аргумент z, определяется как и в (26) отношением отклонения случайной величины от математического ожидания к среднему квадратическому отклонению
(30)
Вид интегральной Функции нормального распределения показан на рис.6. Значения Ф(z) определятся по табл. П. 2.
12
1.4. Определение доверительных интервалов для истинного значения измеряемой величины, имеющей нормальное распределение с известным значением среднего квадратического отклонения
Если, ограничить некоторую область результатов наблюдений Х значениями отклонений Х-МХ, равными ±tp∙σ , то вероятность того, что результат однократного наблюдения X окажется в зоне [-tpσ;+tpσ], можно определить интегрированием дифференциальной функций распределения в пределах ± tp
(31)
Значение указанной вероятности Р может быть найдено как разность значений интегральной функции распределения, определенных по табл. П.2 по значениям z1=-tp и z2=+tp.
Предельные значения случайных размеров [MX-tp∙σ; MX+tp∙σ] называют доверительными границами результата наблюдения, а вероятность Р - доверительной вероятностью того, что результат однократного наблюдения окажется в пределах указанных границ.
Вероятность того, что результат измерения окажется о пределах одного среднего квадратического отклонения, равна 68%.
Для доверительных границ, определенных значениями ±2σ, найдём Р=0,9772 – 0,0228 = 0,9544, то есть 95%.
Наибольшее распространение получила оценка погрешностей с помощью интервала ±3σ (шестисигмовый интервал), для которого Р = 0,9973.
Доверительная вероятность 99,73% оценивается как очень высокая. Дальнейшее расширение границ не приводит к существенному повышению доверительной вероятности.
В практике измерения вероятность появления грубых ошибок, вызванных неправильными действиями оператора, значительно больше, чем вероятность выхода результата за пределы ±4σ.
Вероятность нахождения случайной величины Х в доверительных границах, определенных значениями tp, вычисляется как
(32)
где
(33)
Функция Ф0(z) известна как нормированная функция Лапласа.
Результат измерения, определенный на основании однократного наблюдения, записывается в следующем виде:
13
(34)
Задача 1.1. В результате измерения давления получена величина размером 50,0048 кПа. Средняя квадратическая погрешность этих измерений определена и указана в аттестате измерительного средства –σх=0,4 Па. Записать результат наблюдения в форме, соответствующее ( 34 ), для доверительной вероятности Р = 0,95.
Пояснения к решению задачи № 1.1.
Для доверительной вероятности Р = 0,95 доверительные границы определены значениями ±2σ. Следовательно, результат наблюдения будет записан таким образом
L= ( 50,0048 ± 0,0008 ) кПа; Р = 0,95.
1.5. Точечные оценки параметров распределения случайных величин и отклонений
Ставится задача определить параметры распределения случайных величин на основании выборки - ограниченного ряда значении измеряемой величины, полученных в результате n независимых опытов. Оцениваемыми параметрами является в первую очередь математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Оценку параметра называют точечной, если она выражается одним числом. Любая точечная оценка, определенная на основании опытных данных, является их функцией и, следовательно, сама является случайной величиной с распределением, зависящим от распределения исходной случайной величины, в том числе и от самого оцениваемого параметра, а также от числа опытов n.
Дисперсия среднего арифметического из n наблюдений в n раз меньше дисперсии результатов однократных наблюдений
(35)
При достаточно большом числе наблюдений, как доказывается в курсе математической статистики, точечную оценку дисперсии можно произвести следующим образом:
(36)
14
(37)
Эта оценка характеризует сходимость результатов отдельных наблюдений, то есть степень концентрации относительно среднего арифметического. Если σх называют иногда средним квадратическим, или стандартным отклонением генеральной совокупности, то Sx - выборочным средним квадратическим отклонением.
Среднее арифметическое Х имеет дисперсию, в n- раз меньшую, чем дисперсия случайной погрешности. Поэтому в качестве точечной оценки дисперсии среднего арифметического принимается выражение
(37)
Оценка среднего квадратического отклонения среднего арифметического описывается в следующем виде:
(38)
С помощью полученных оценок Х и Sx результат измерения может быть записан так
Q X ; Sx ...; n ...,
что позволяет сделать выводы относительно точности измерения: число измерений n указывает на надежность определения S x и, следовательно, Sx и
на близость Х к истинному значению Q.
Задача 1.2. Сравнить по точности данные двух серий опытов:
1.Х=25,01 мм; S x =0,0005 мм; n=36.
2.X=25,01 мм; S x =0,0005 мм; n=9.
Пояснения к решению задачи 1.2.
Для первой серии опытов истинный размер Q=25,01 ± 0,0005; Р=68%. Кроме того, n=36 говорит о том, каково было рассеяние результатов наблюдения при измерении: результаты однократных, измерений с вероятностью 68% не выходили за пределы
15